INTEGRAL TAK TENTU
ANTI TURUNAN (anti differensiasi)
Anti differensiasi atau integral tak tentu merupakan operasi invers atau kebalikan dari differensiasi atau turunan. Karena itu, rumus- rumus anti differensiasi (integral) dapat diturunkan dari rumus-rumus differensiasi (turunan).
Definisi 1.1
Funsi F disebut sebagai anti turunan atau anti differensiasi atau integral dari fungsi f pada selang I jika F'(x)=f(x) berlaku unntuk setiap x di I.\
Fungsi F juga biasa disebut integral dari f.
CONTOH:
(1) Jika `F(x)=\x^2-2x+3`, maka `F'(x) =2x-2`.
Jika f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai `f(x)=2x-2`, maka `f` turunan dari F dan F adalah anti turunan dari f.
(2) Jika `G(x) =\x^2-2x+5`, maka `G'(x)=2x-2`.
Jika `g` adalah fungsi yang didefinisikan sebagai `g(x)=2x-2`, maka `g` turunan dari `G` dan `G` adalah anti turunan dari `g`.
Perhatikan dua fungsi diatas!!!
Dua fungsi yang berbeda pada contoh (1) dan (2). Dimana fungsi `F` dan `G` berbeda tetapi menghasilkan diferensial yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa dalam integral tak tentu, fungsi hasil pengintegralan selalu ditambahkan dengan sebuah konstanta yang dituliskan dengan huruf `C`.
NOTASI ANTI TURUNAN:
Anti turunan dinotasikan sebagai `\int...dx`.
Sehingga rumus umum untuk integral tak tentu adalah:
`\intf(x)dx= F(x)+C`
Dengan C di notasikan sebagai wakil dari konstanta berapa pun nilainya itu seperti pada contoh (1) dan (2).
Sifat-sifat integral tak tentu:
Jika `F(x)=\frac{1}{2}x^2` maka `F'(x)=f(x)=x`
Berarti, `\int xdx =\frac{1}{2} x^2 +C`
Jika `F(x)=\frac{1}{3} x^3` maka `F'(x) = f(x)=x^2`
Berarti, `\int x^2 dx=\frac{1}{3} x^3 + C`
Jika `F(x)=\frac{1}{4} x^4` maka `F'(x)=f(x) =x^3`
Berarti, `\int x^3 dx=\frac{1}{4} x^4 + C`
Dari ilustrasi diatas dapat disimpulkan sifat integral tak tentu (aturan pangkat) jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1 maka akan diperoleh:
Teorema 1.1
`\int ax^n dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C`, untuk `n` bilangan rasional dan `n` tidak sama dengan `-1`
Contoh:
Tentukan anti turunan berikut:
`\int2x^3dx`
Penyelesaian:
Berdasarkan rumus:
`\int ax^n dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C`
Diperoleh bahwa `a=2` dan `n=3`, sehingga;
`\int2x^3dx =\frac{2}{3+1}x^{3+1} +C`
`= \frac{2]{4} x^4 +C`
` = \frac[1}{2}x^4+C`
Teorema 1.2 dan Teorema 1.3
(Kelinearan `\int... dx`). andaikan `f` dan `g` mempunyai anti turunan dengan `k` suatu konstanta. maka:
a. `\int kf (x) dx= k\int f(x) dx;`
b. `\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx;` dan oleh karena itu `\int[f(x)-g(x)] dx= \int f(x) - \int g(x) dx.`
Contoh.
1. `\int (3x^2 + 4x)`
Penyelesaian:
`\int (3x^2 + 4x) dx= \int 3x^2 dx + \int4x dx`
=`3\int x^2 dx + 4 \int x dx`
= `3(\frac{x^3}{3} + C1) + 4 (\frac{x^2}{2} + C2)`
=`x^3 +2x^2 + (3C1 +4C2)`
=`x^3 +2x^2 + C`
2. `\int(u^{\frac{3}{2}} - 3u + 14) du`
Penyelesaian:
`\int (u^{\frac{3}{2}} - 3u + 14) du= \int u^{\frac{3}{2}} du - 3\intu du + 14 \int 1 du`
=`\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2}u^2 + 14u + C`
3. `\int(\frac{1}{t^2} + \sqrt{t})dt`
Penyelesaian:
`\int(\frac{1}{t^2} + \sqrt{t})dt= \int(t^{-2}+ t^{\frac{1}{2}}) dt`
`= \intt^{-2} dt + \intt^{\frac{1}{2}}dt`
`=\frac{t^{-1}}{-1} + \frac{t^\frac3 2}{\frac 3 2} + C`
`= \frac{-1}{t}+ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+ C`
Teorema 1.4
(Aturan pangkat yang dirampatkan). andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka,
`\int[g(x)]'g'(x)dx=\frac{[g(x)]^{r+1}}{r+1}+ C`
Contoh:
`\int(x^4+3x)^30(4x^3+3)dx`
Penyelesaian:
`g(x) =x^4+3x;` maka `g'(x)= 4x^3 +3.`
`\int(x^4+3x)^30(4x^3+3)dx= \int[g(x)]^30 g'(x) dx`
`= \frac{[g(x)]^31}{31} + C`
`=\frac{(x^4+3x)^31}{31}+C`
.png)
.png)