Integral Fungsi Trigonometri

Integral Fungsi Trigonometri

Integral fungsi trigonometri melibtakan kombinasi aljabar dari enam funsi trigonometri dasar, sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebbih rinci ada baiknya kita mengetahui terlebih dahulu integral dasar fungsi trigometri yang akan menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri.

Bentuk dasar tersebut adalah:

1. `\intsinxdx=-cosx+C`

2. `\intcosxdx=sinx+C`

3. `\intsec^2xdx=tanx+C`

Berdasarkan bentuk diatas selanjutnya akan diberikan kasusu bentuk integral fungsi trigonometri sebai berikut:

Integral jenis 1

`(\intsin^nxdx)` dan `(\intcos^nxdx)`

Strategi untuk menentukan integral jenis ini adalah kita akan meninjau pangkat `n` untuk `n` bilangan bulat ganjil dan positif, maka `n` diubah menjadi `(n-1)+1`atau n digenapkan terdekat. Selanjutnya kita gunakan kesamaan `sin^2x+cos^2x=1`.

Contoh: 

Tentukan `\intcos^5xdx`

Penyelesaian:

`\intcos^5xdx=\intcos^{(5-1)+1}xdx`

                    `=\intcos^4xcosxdx`

                   `=\int(1-sin^2x)^2 cosxdx`

                    `=\int(1-2sin^2x+sin^4x)cosxdx`

Kita misalkan `u=sinx`, maka `\frac{du}{dx}=cosx` atau `dx=\frac{du}{cosx}`

`=\int(1-2sin^2x+sin^4x)cosxdx=\int(1-2u^2+u^4)cosx(\frac{du}{cosx})`

`=\int(1-2u^2+u^4)du=u-\frac{2}{3}u^3+\frac{1}{5}u^5+C`

Ganti `u` dengan `u=sinx` maka,

`=sinx-\frac{2}{3}sin^3x+\frac{1}{5}sin^5x+C`

Integral jenis 2

`(\intsin^mxcos^nxdx)`

Strategi untuk menentukannya dengan `m\geq0` dan `n\geq0` diuraikan sebagai berikut.

a) Jika pangkat dari sinus adalah bilangan ganjil (m=2p+1), kita simpan satu faktor sinus dan gunakan `sin^2x=1-cos^2x` untuk menyatakan faktor tersisa dalam kosinus.

`\intsin^{2p+1}xcos^nxdx=\int(sin^2x)^pcos^nxsinxdx`

                                    `=\int(1-cos^2x)^pcos^nxsinxdx`

Kemudian kita substitusi `u=cosx`

b) Jika pangkat dari kosinus adalah bilangan ganjil `(n=2p+1)`, kita simpan satu faktor kosinus dan gunakan `sin^2x=1-cos^2x` untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam sinus.

`\intsin^mxcos^{2p+1}xdx=\intsin^mx(cos^2x)^pcosxdx`

                                         `=intsin^mx(1-sin^2x)^pcosxdx`

Kemudian kita substitusikan `u=sinx`

Jika pangkat dari sinus dan kosinus adlah ganjil salah satu dari (a) dan (b) dapat digunakan.

c) Jika pangkat dari sinus maupun kosinus adalh bilangan genap, kita dapat menggunakan rumus atau kesamaan setengah sudut.

`sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}` atau `cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}`

Terkadang kesamaan `sin x cos x=\frac{1}{2}sin2x` dapat membantu untuk menyelesaikan kasus seperti ini.

Contoh:

Tentukan `\intsin^2xcos^4xdx`

Penyelesaian:

`\intsin^2xcos^4xdx=\int(\frac{1-cos2x}{2})(\frac{1+cos2x}{2})^2dx`

                                `=\frac{1}{8}\int(1+cos2x-cos^{2}2x-cos^{3}2x)dx`

                                `=\frac{1}{8}\int[1+cos2x-\frac{1}{2}(1+cos4x)-1(1-sin^{2}2x)cos2x]dx`

                               `=\frac{1}{8}\int[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4x+sin^{2}2xcos2x]dx`

                              `=\frac{1}{8}[\intfrac{1}{2}dx-\frac{1}{8}\intcos4xd(4x)+\frac{1}{2}\intsin^{2}2xd(sin2x)]`

                              `=\frac{1}{8}[\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin4x+\frac{1}{6}sin^{3}2x]+ C`

                             `=\frac{1}{16}x-\frac{1}{{64}sin4x+\frac{1}{48}sin^{3}2x+ C`

Integral jenis 3

`\int tan^n xdx` dan `\intcot^nxdx`

Dalam penentuan integral ini, kasus tangen kita keluarkan faktor `tan^2x=sec^2x-1` sedangkan untuk kasus kotangen kita keluarkan faktor `cot^2x=csc^2x-1`

Contoh:

Tentukan `\inttan ^3xdx`

Penyelesaian:

Kita uraikan `tan^3x=tan^2xtanx, sehingga

 `\inttan ^3xdx=\inttan^2xtanxdx= \int(sec^2x-1)tanxdx`

                   `=\int(sec^2xtanx-tanx)dx`

                   `=\inttanxsec^2xdx-\inttanxdx`

                  `=\frac{tan^2x}{2}-ln|secx|+C`

Integral jenis 4

`(\inttan^mxsec^nxdx dan \intcot^mxcsc^nxdx)`

Strategi untuk menentukan integral jenis ini sebagai berikut:

a) Jika pangkat dari tangen adalah bilangan ganjil `(m=2p+1)` , simpan satu faktor `secxtanx` dan gunakan `tan^2x=sec^2x-1`untuk menyatakan faktor yang tersisa dala `secx`:

`\inttan^{2p+1}xsec^nxdx=\int(tan^2x)^psec^{n-1}xsecxtanxdex`

                                          `=\int(sec^2x-1)^psec^{n-1}xsecxtanxdx`

kemudian substitusikan `u=secx`

b) Jika pangkatdari `secan` adalah bilangan genap (n=2p), simpan satu faktor `sec^2x` dan gunakan`sec^2x=1+tan^2x` untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam tan x:

`\inttan^mxsec^{2p}xdx=\inttan^mx(sec^2x)^{p-1}sec^2xdx`

                                       `=\inttan^mx(1+tan^2x)^{p-1}sec^2xdx`

Kemudian substitusikan `u=tanx`

Contoh:

Tentukanlah `\inttan^6xsec^4xdx`

Penyelesaian:

Jika kita pisahkan satu faktor `sec^2x`, kita dapat menyatakan faktor `sec^2x` yang tersisa dalam tangen dengan menggunakan kesamaan `sec^2x=1+tan^2x` kemudian kita dapat menentukan integral dengan mensubstitusikan `u=tanx` dengan `du=sec^2xdx` atau `dx=\frac{du}{sec^2x}`

Dengan demikian,

 `\inttan^6xsec^4xdx=\inttan^6xsec^2xsec^2xdx`

                                 `=\inttan^6x(1+tan^2x)sec^2xdx`

                                `=\intu^6(1=u^2)sec^2x\frac{du}{sec^2x}`

                                `=\intu^6(1+u^2)du`

                                `=\frac{1}{7}u^7+\frac{1}{9}u^9+ C`

Dengan mengganti `u=tanx` maka diperoleh hasil akhir adalah

`\frac{1}{7}tan^7x+\frac{1}{9}tan^9x+C`

Integral jenis 5

`(\intsinmxcosnxdx, \intsinmxsinnxdx, \intcosmxcosnxdx)`

Strategi untuk menentukan integral jenis ini adalah dengan memperhatikan kesamaan-kesamaan berikut.

a) `sinmxcosnx=\frac{1}{2}[sin(m+n)x+sin(m-n)x]`

b) `sinmx sinnx=-\frac{1}{2}[cos(m+n)x-sin(m-n)x]`

c) `cosmxcos nx =\frac{1}{2}[cos(m+n)x+cos(m-n)x]`

Contoh:

Tentukanlah `\intsin3xcos4xdx`

Penyelesaian:

Dengan menggunakan (a) maka kita dapat menuliskan

`\intsin3xcos4xdx=\frac{1}{2}[sin(3+4)x+sin(3-4)x]`

                             `=\frac{1}{2}[sin7x+sin(-x)]`

                             `=\frac{1}{2}[-\frac{1}{7}cos7x+cosx]+C`

                             `=\frac{1}{2}cosx-\frac{1}{14}cos7x+ C`