Processing math: 100%

Pages

Kamis, 09 Maret 2023

Integral Fungsi Trigonometri




Integral Fungsi Trigonometri

Integral fungsi trigonometri melibtakan kombinasi aljabar dari enam funsi trigonometri dasar, sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebbih rinci ada baiknya kita mengetahui terlebih dahulu integral dasar fungsi trigometri yang akan menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri.

Bentuk dasar tersebut adalah:

1. sinxdx=-cosx+C

2. cosxdx=sinx+C

3. sec2xdx=tanx+C

Berdasarkan bentuk diatas selanjutnya akan diberikan kasusu bentuk integral fungsi trigonometri sebai berikut:

Integral jenis 1

(sinnxdx) dan (cosnxdx)

Strategi untuk menentukan integral jenis ini adalah kita akan meninjau pangkat n untuk n bilangan bulat ganjil dan positif, maka n diubah menjadi (n-1)+1atau n digenapkan terdekat. Selanjutnya kita gunakan kesamaan sin2x+cos2x=1.

Contoh: 

Tentukan cos5xdx

Penyelesaian:

cos5xdx=cos(5-1)+1xdx

                    =cos4xcosxdx

                   =(1-sin2x)2cosxdx

                    =(1-2sin2x+sin4x)cosxdx

Kita misalkan u=sinx, maka dudx=cosx atau dx=ducosx

=(1-2sin2x+sin4x)cosxdx=(1-2u2+u4)cosx(ducosx)

=(1-2u2+u4)du=u-23u3+15u5+C

Ganti u dengan u=sinx maka,

=sinx-23sin3x+15sin5x+C

Integral jenis 2

(sinmxcosnxdx)

Strategi untuk menentukannya dengan m0 dan n0 diuraikan sebagai berikut.

a) Jika pangkat dari sinus adalah bilangan ganjil (m=2p+1), kita simpan satu faktor sinus dan gunakan sin2x=1-cos2x untuk menyatakan faktor tersisa dalam kosinus.

sin2p+1xcosnxdx=(sin2x)pcosnxsinxdx

                                    =(1-cos2x)pcosnxsinxdx

Kemudian kita substitusi u=cosx

b) Jika pangkat dari kosinus adalah bilangan ganjil (n=2p+1), kita simpan satu faktor kosinus dan gunakan sin2x=1-cos2x untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam sinus.

sinmxcos2p+1xdx=sinmx(cos2x)pcosxdx

                                         =sinmx(1-sin2x)pcosxdx

Kemudian kita substitusikan u=sinx

Jika pangkat dari sinus dan kosinus adlah ganjil salah satu dari (a) dan (b) dapat digunakan.

c) Jika pangkat dari sinus maupun kosinus adalh bilangan genap, kita dapat menggunakan rumus atau kesamaan setengah sudut.

sin2x=1-cos2x2 atau cos2x=1+cos2x2

Terkadang kesamaan sinxcosx=12sin2x dapat membantu untuk menyelesaikan kasus seperti ini.

Contoh:

Tentukan sin2xcos4xdx

Penyelesaian:

sin2xcos4xdx=(1-cos2x2)(1+cos2x2)2dx

                                =18(1+cos2x-cos22x-cos32x)dx

                                =18[1+cos2x-12(1+cos4x)-1(1-sin22x)cos2x]dx

                               =18[12-12cos4x+sin22xcos2x]dx

                              =18[12dx-18cos4xd(4x)+12sin22xd(sin2x)]

                              =18[12x+18sin4x+16sin32x]+C

                             `=\frac{1}{16}x-\frac{1}{{64}sin4x+\frac{1}{48}sin^{3}2x+ C`

Integral jenis 3

tannxdx dan cotnxdx

Dalam penentuan integral ini, kasus tangen kita keluarkan faktor tan2x=sec2x-1 sedangkan untuk kasus kotangen kita keluarkan faktor cot2x=csc2x-1

Contoh:

Tentukan tan3xdx

Penyelesaian:

Kita uraikan `tan^3x=tan^2xtanx, sehingga

 tan3xdx=tan2xtanxdx=(sec2x-1)tanxdx

                   =(sec2xtanx-tanx)dx

                   =tanxsec2xdx-tanxdx

                  =tan2x2-ln|secx|+C

Integral jenis 4

(tanmxsecnxdxdancotmxcscnxdx)

Strategi untuk menentukan integral jenis ini sebagai berikut:

a) Jika pangkat dari tangen adalah bilangan ganjil (m=2p+1) , simpan satu faktor secxtanx dan gunakan tan2x=sec2x-1untuk menyatakan faktor yang tersisa dala secx:

tan2p+1xsecnxdx=(tan2x)psecn-1xsecxtanxdex

                                          =(sec2x-1)psecn-1xsecxtanxdx

kemudian substitusikan u=secx

b) Jika pangkatdari secan adalah bilangan genap (n=2p), simpan satu faktor sec2x dan gunakansec2x=1+tan2x untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam tan x:

tanmxsec2pxdx=tanmx(sec2x)p-1sec2xdx

                                       =tanmx(1+tan2x)p-1sec2xdx

Kemudian substitusikan u=tanx

Contoh:

Tentukanlah tan6xsec4xdx

Penyelesaian:

Jika kita pisahkan satu faktor sec2x, kita dapat menyatakan faktor sec2x yang tersisa dalam tangen dengan menggunakan kesamaan sec2x=1+tan2x kemudian kita dapat menentukan integral dengan mensubstitusikan u=tanx dengan du=sec2xdx atau dx=dusec2x

Dengan demikian,

 tan6xsec4xdx=tan6xsec2xsec2xdx

                                 =tan6x(1+tan2x)sec2xdx

                                =u6(1=u2)sec2xdusec2x

                                =u6(1+u2)du

                                =17u7+19u9+C

Dengan mengganti u=tanx maka diperoleh hasil akhir adalah

17tan7x+19tan9x+C

Integral jenis 5

(sinmxcosnxdx,sinmxsinnxdx,cosmxcosnxdx)

Strategi untuk menentukan integral jenis ini adalah dengan memperhatikan kesamaan-kesamaan berikut.

a) sinmxcosnx=12[sin(m+n)x+sin(m-n)x]

b) sinmxsinnx=-12[cos(m+n)x-sin(m-n)x]

c) cosmxcosnx=12[cos(m+n)x+cos(m-n)x]

Contoh:

Tentukanlah sin3xcos4xdx

Penyelesaian:

Dengan menggunakan (a) maka kita dapat menuliskan

sin3xcos4xdx=12[sin(3+4)x+sin(3-4)x]

                             =12[sin7x+sin(-x)]

                             =12[-17cos7x+cosx]+C

                             =12cosx-114cos7x+C



Related Posts:

  • Integral Tak Tentu Metode Substitusi Integral Tak Tentu Metode SubstitusiSetelah mengetahui cara mencari anti turunan dari f(x), yaitu: F(x)=f(x) yang bersifat F'(x)=f(x). namun, masih banyak kita jumpai fungsi- fungsi yang tidak mudah untuk ditentukan int… Read More
  • Integral Fungsi TrigonometriIntegral Fungsi TrigonometriIntegral fungsi trigonometri melibtakan kombinasi aljabar dari enam funsi trigonometri dasar, sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebbih rinci ada baiknya kita mengetahui te… Read More
  • Integral Teknik Parsial Integral Teknik ParsialAndaikan penggunaan integral dengan metode substitusi tidak berhasil dalam menentukan hasil dari sebuah integral, maka selanjutnya kita akan menggunakan integral parsial. Dimana secara umum integr… Read More
  • Integral- Substitusi TrigonometriIntegral- Substitusi TrigonometriTerkadang kita bertemu dengan tipe soal integral yang memuat bentuk akar yang sulit untuk diselesaikan sehingga dibutuhkan teknik substitusi trigonometri agar bentuk akarnya hilang. Setelah va… Read More
  • Integral Fungsi Rasional LinearIntegral Fungsi Rasional LinearFungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom (suku banyak) yang dituliskan `f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, P(x) dan Q(x)` fungsi-fungsi polinom dengan `Q(x)\ne 0` untuk semua `x` di domain `… Read More

0 komentar:

Posting Komentar