Integral Fungsi Trigonometri
Integral fungsi trigonometri melibtakan kombinasi aljabar dari enam funsi trigonometri dasar, sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebbih rinci ada baiknya kita mengetahui terlebih dahulu integral dasar fungsi trigometri yang akan menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri.
Bentuk dasar tersebut adalah:
1. ∫sinxdx=-cosx+C
2. ∫cosxdx=sinx+C
3. ∫sec2xdx=tanx+C
Berdasarkan bentuk diatas selanjutnya akan diberikan kasusu bentuk integral fungsi trigonometri sebai berikut:
Integral jenis 1
(∫sinnxdx) dan (∫cosnxdx)
Strategi untuk menentukan integral jenis ini adalah kita akan meninjau pangkat n untuk n bilangan bulat ganjil dan positif, maka n diubah menjadi (n-1)+1atau n digenapkan terdekat. Selanjutnya kita gunakan kesamaan sin2x+cos2x=1.
Contoh:
Tentukan ∫cos5xdx
Penyelesaian:
∫cos5xdx=∫cos(5-1)+1xdx
=∫cos4xcosxdx
=∫(1-sin2x)2cosxdx
=∫(1-2sin2x+sin4x)cosxdx
Kita misalkan u=sinx, maka dudx=cosx atau dx=ducosx
=∫(1-2sin2x+sin4x)cosxdx=∫(1-2u2+u4)cosx(ducosx)
=∫(1-2u2+u4)du=u-23u3+15u5+C
Ganti u dengan u=sinx maka,
=sinx-23sin3x+15sin5x+C
Integral jenis 2
(∫sinmxcosnxdx)
Strategi untuk menentukannya dengan m≥0 dan n≥0 diuraikan sebagai berikut.
a) Jika pangkat dari sinus adalah bilangan ganjil (m=2p+1), kita simpan satu faktor sinus dan gunakan sin2x=1-cos2x untuk menyatakan faktor tersisa dalam kosinus.
∫sin2p+1xcosnxdx=∫(sin2x)pcosnxsinxdx
=∫(1-cos2x)pcosnxsinxdx
Kemudian kita substitusi u=cosx
b) Jika pangkat dari kosinus adalah bilangan ganjil (n=2p+1), kita simpan satu faktor kosinus dan gunakan sin2x=1-cos2x untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam sinus.
∫sinmxcos2p+1xdx=∫sinmx(cos2x)pcosxdx
=∫sinmx(1-sin2x)pcosxdx
Kemudian kita substitusikan u=sinx
Jika pangkat dari sinus dan kosinus adlah ganjil salah satu dari (a) dan (b) dapat digunakan.
c) Jika pangkat dari sinus maupun kosinus adalh bilangan genap, kita dapat menggunakan rumus atau kesamaan setengah sudut.
sin2x=1-cos2x2 atau cos2x=1+cos2x2
Terkadang kesamaan sinxcosx=12sin2x dapat membantu untuk menyelesaikan kasus seperti ini.
Contoh:
Tentukan ∫sin2xcos4xdx
Penyelesaian:
∫sin2xcos4xdx=∫(1-cos2x2)(1+cos2x2)2dx
=18∫(1+cos2x-cos22x-cos32x)dx
=18∫[1+cos2x-12(1+cos4x)-1(1-sin22x)cos2x]dx
=18∫[12-12cos4x+sin22xcos2x]dx
=18[∫12dx-18∫cos4xd(4x)+12∫sin22xd(sin2x)]
=18[12x+18sin4x+16sin32x]+C
`=\frac{1}{16}x-\frac{1}{{64}sin4x+\frac{1}{48}sin^{3}2x+ C`
Integral jenis 3
∫tannxdx dan ∫cotnxdx
Dalam penentuan integral ini, kasus tangen kita keluarkan faktor tan2x=sec2x-1 sedangkan untuk kasus kotangen kita keluarkan faktor cot2x=csc2x-1
Contoh:
Tentukan ∫tan3xdx
Penyelesaian:
Kita uraikan `tan^3x=tan^2xtanx, sehingga
∫tan3xdx=∫tan2xtanxdx=∫(sec2x-1)tanxdx
=∫(sec2xtanx-tanx)dx
=∫tanxsec2xdx-∫tanxdx
=tan2x2-ln|secx|+C
Integral jenis 4
(∫tanmxsecnxdxdan∫cotmxcscnxdx)
Strategi untuk menentukan integral jenis ini sebagai berikut:
a) Jika pangkat dari tangen adalah bilangan ganjil (m=2p+1) , simpan satu faktor secxtanx dan gunakan tan2x=sec2x-1untuk menyatakan faktor yang tersisa dala secx:
∫tan2p+1xsecnxdx=∫(tan2x)psecn-1xsecxtanxdex
=∫(sec2x-1)psecn-1xsecxtanxdx
kemudian substitusikan u=secx
b) Jika pangkatdari secan adalah bilangan genap (n=2p), simpan satu faktor sec2x dan gunakansec2x=1+tan2x untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam tan x:
∫tanmxsec2pxdx=∫tanmx(sec2x)p-1sec2xdx
=∫tanmx(1+tan2x)p-1sec2xdx
Kemudian substitusikan u=tanx
Contoh:
Tentukanlah ∫tan6xsec4xdx
Penyelesaian:
Jika kita pisahkan satu faktor sec2x, kita dapat menyatakan faktor sec2x yang tersisa dalam tangen dengan menggunakan kesamaan sec2x=1+tan2x kemudian kita dapat menentukan integral dengan mensubstitusikan u=tanx dengan du=sec2xdx atau dx=dusec2x
Dengan demikian,
∫tan6xsec4xdx=∫tan6xsec2xsec2xdx
=∫tan6x(1+tan2x)sec2xdx
=∫u6(1=u2)sec2xdusec2x
=∫u6(1+u2)du
=17u7+19u9+C
Dengan mengganti u=tanx maka diperoleh hasil akhir adalah
17tan7x+19tan9x+C
Integral jenis 5
(∫sinmxcosnxdx,∫sinmxsinnxdx,∫cosmxcosnxdx)
Strategi untuk menentukan integral jenis ini adalah dengan memperhatikan kesamaan-kesamaan berikut.
a) sinmxcosnx=12[sin(m+n)x+sin(m-n)x]
b) sinmxsinnx=-12[cos(m+n)x-sin(m-n)x]
c) cosmxcosnx=12[cos(m+n)x+cos(m-n)x]
Contoh:
Tentukanlah ∫sin3xcos4xdx
Penyelesaian:
Dengan menggunakan (a) maka kita dapat menuliskan
∫sin3xcos4xdx=12[sin(3+4)x+sin(3-4)x]
=12[sin7x+sin(-x)]
=12[-17cos7x+cosx]+C
=12cosx-114cos7x+C
0 komentar:
Posting Komentar