Integral Fungsi Rasional Linear ~ NADIA MUTMAINNAH

Integral Fungsi Rasional Linear

Fungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom (suku banyak) yang dituliskan

f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}, P (x) d a n Q (x)

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, P(x) dan Q(x)$ fungsi-fungsi polinom dengan

Q (x) \neq 0

$Q(x)\ne 0$ untuk semua

x

$x$ di domain

f

$f$ . Perhatikan

\frac{3}{x + 1} - \frac{2}{x - 2}

$\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2}$ , dengan menyamakan penyebut kita memperoleh:

\frac{3}{x + 1} - \frac{2}{x - 2} = \frac{3 (x - 2) - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{x - 8}{x^{2} - x - 2}

$\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2}=\frac{3(x-2)-2(x-1)}{(x+1)(x-2)}=\frac{x-8}{x^2-x-2}$

sehingga,

\int \frac{x - 8}{x^{2} - x - 2} d x = \int (\frac{3}{x + 1} - \frac{2}{x - 2}) d x = \int \frac{3}{x - 1} d x - \int \frac{2}{x - 2} d x

$\int\frac{x-8}{x^2-x-2}dx=\int(\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2})dx=\int\frac{3}{x-1}dx-\int\frac{2}[x-2}dx$

= 3 ln | x + 1 | - 2 ln | x - 2 | + C

$=3ln|x+1|-2ln|x-2|+C$

Fungsi rasional dibedaan atas:

1. Fungsi rasional sejati, merupakan fugsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari derajat pada penyebut.

Contoh:

$f(x)=\frac{3x-2}{x^2-x-6}$

2. Fungsi rasional ta sejati, merupakan fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat pada penyebut.

Contoh:

$f(x)=\frac{x^4+3x^2+2}{x^2+4x}$

Fungsi tasional tak sejati dapat dituliskan sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan fungsi rasional sejati, caranya adalah dengan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut, Hasil pembaginya sebagai berikut:

$F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)]=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$

Dengan

$S$ dan

$R$ polinom juga, derajar

$R$ lebih kecil dari derajat

$Q$ .

$S(x)$ merupakan hasil pembagian sedangkan

$R(x)$ merupakan sisa pembagian.

Contoh:

$f(x)=\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}$

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut

$g(x)$ dari fungsi rasional

$F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 diatas, `g(x) dapat berupa kombinasi antara:

*fungsi linear berbeda,

$g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)$ dstnya.

*fungsi linear berulang,

$g(x)=(x-a)^n$

$=(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)$

*fungsi linear dan kuadrat,

$g(x)=(x-a)(ax2+bx+c)$

*fungsi kuadrat berbeda,

$g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)$

*fungsi kuadrat berulang,

$g(x)=(ax^2+bx+c)^n$ dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan

$n$ pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya. Misal,

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1}{(ax1+b1)}+\frac{A2}{(ax2+b2)}+...$ [penyebut kombinasi linear berbeda]

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1}{(ax+b)}+\frac{A2}{(ax+b)^2}+\frac{A3}{(ax+b)^3}+...$ [kombinasi linear berulang]

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1x+B1}{(a1x^2+b1x+c1)}+frac{A2x+B2}{(a2x^2+b2x+c2)}+...$ [kombinasi kuadrat berbeda]

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah

$n$ pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2,...An dan B1,B2, ...Bn.

Contoh soal linear yang berbeda:

Tentukan

$\int\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}dx$

Penyelesaian:

kita jabarkan fungsi rasional atas faktor linear yang berbeda.

$\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}=\frac{5x+3}{x(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x}=\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$

untuk menentukan nilai

$A,B$ , dan

$C$ , kita kalikan kedua ruas persamaan ini dengan hasil kali ketiga penyebut sehingga dieperoleh

$5x+3=A(x+1)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-1)$ selanjutnya kita uraikan dan kelompokan maka:

$5x+3=(A+B+C)x^2 +(-2A-3B+C)x-3A$

Kita menyamakan ruas kiri dan ruas kanan dengan memperhatikan koefisien

$x^2$ pada ruas kiri

$(yaitu 0)$ harus sama dengan koefisien

$x^2$ pada ruas kanan

$(A+B+C)$ , demikian juga koefisien

$x$ dan knstanta pada kedua ruas. Dengan memperhatikan persamaan tersebut dapat memberikan sistem persamaan berikut untuk variabel

$A,B$ dan

$C$ .

$A+B+C=0$

$-2A-3B+C=5$

$-3A=3$

Jika kita menyelesaikan persamaan- persamaan diatas, maka diperoleh

$A=-1, B=-\frac{1}{2}, C=\frac{3}{2}$ sehingga,

$\int\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}dx=\int\frac{-1}{x}dx+\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}dx+ \frac{\frac{3}{2}}{x-3}dx$

$=-ln|x|-\frac{1}{2}ln|x+1|+\frac{3}{2}ln|x-3|+C$

Contoh soal linear yang berulang:

Tentukanlah

$\int\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx$

Penyelesaian:

Pertama, kita membagi bentuk rasional tersebut karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut. Sehingga hasil pembagian itu adalah

$\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}$

Kedua, kta faktorkan penyebut

$Q(x)=x^3-x^2-x+1$ dengan cara mensubstitusikan. Diketahui

$Q(1)=0$ sehingga salah satu faktor polinom

$Q(x)$ adalah

$x-1$ dan kita peroleh:

$x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)$

karena faktor linear

$x-1$ muncul dua kali, maka dekomposisi fraksi parsial adalah

$\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}=\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$

kita mengalikan penyebut sekutu terkecil yaitu

$(x-1)^2$ dan

$x-1$ maka kita peroleh

$4x=A(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x-1)^2$

$4x=(B+C)x^2+(A-2C)x+A-B+C$

Penyamaan koefisien menghasilkan,

$B+C=0$

$A-2C=4$

$A-B+C=0$

Dengan metode eliminasi diperoleh

$A=2,B=1,$ dan

$C=-1$

Sehingga,

$\int\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx=\int(x+1+\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})dx$

$=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{2}[x-1}+ln|x-1|-ln|x+1|+C$

$=frac{1}{2}x^2+x-\frac{2}[x-1}+ln\frac{|x-1|}{|x+1|}+C$

NADIA MUTMAINNAH

Pages

Rabu, 29 Maret 2023