Integral Fungsi Rasional Linear

Integral Fungsi Rasional Linear

Fungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom (suku banyak) yang dituliskan `f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, P(x) dan Q(x)` fungsi-fungsi polinom dengan `Q(x)\ne 0` untuk semua `x` di domain `f`. Perhatikan `\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2}`, dengan menyamakan penyebut kita memperoleh:

`\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2}=\frac{3(x-2)-2(x-1)}{(x+1)(x-2)}=\frac{x-8}{x^2-x-2}`

sehingga, `\int\frac{x-8}{x^2-x-2}dx=\int(\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2})dx=\int\frac{3}{x-1}dx-\int\frac{2}[x-2}dx`

                                                `=3ln|x+1|-2ln|x-2|+C`

Fungsi rasional dibedaan atas:

1. Fungsi rasional sejati, merupakan fugsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari derajat pada penyebut.

Contoh:

`f(x)=\frac{3x-2}{x^2-x-6}`

2. Fungsi rasional ta sejati, merupakan fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat pada penyebut.

Contoh:

`f(x)=\frac{x^4+3x^2+2}{x^2+4x}`

Fungsi tasional tak sejati dapat dituliskan sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan fungsi rasional sejati, caranya adalah dengan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut, Hasil pembaginya sebagai berikut:

`F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)]=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}`

Dengan `S` dan `R` polinom juga, derajar `R` lebih kecil dari derajat `Q`. `S(x)` merupakan hasil pembagian sedangkan `R(x)` merupakan sisa pembagian.

Contoh:

`f(x)=\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}` sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 diatas, `g(x) dapat berupa kombinasi antara:

   *fungsi linear berbeda, `g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)` dstnya.

   *fungsi linear berulang, `g(x)=(x-a)^n`

                                                 `=(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`

  *fungsi linear dan kuadrat, `g(x)=(x-a)(ax2+bx+c)`

  *fungsi kuadrat berbeda, `g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)`

  *fungsi kuadrat berulang, `g(x)=(ax^2+bx+c)^n` dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan `n` pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya. Misal,

*`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1}{(ax1+b1)}+\frac{A2}{(ax2+b2)}+...` [penyebut kombinasi linear berbeda]

*`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1}{(ax+b)}+\frac{A2}{(ax+b)^2}+\frac{A3}{(ax+b)^3}+...`  [kombinasi linear berulang]

*`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1x+B1}{(a1x^2+b1x+c1)}+frac{A2x+B2}{(a2x^2+b2x+c2)}+...`  [kombinasi kuadrat berbeda]

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah `n` pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2,...An dan B1,B2, ...Bn.

Contoh soal linear yang berbeda:

Tentukan `\int\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}dx`

Penyelesaian:

kita jabarkan fungsi rasional atas faktor linear yang berbeda.

`\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}=\frac{5x+3}{x(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x}=\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}`

untuk menentukan nilai `A,B`, dan `C`, kita kalikan kedua ruas persamaan ini dengan hasil kali ketiga penyebut sehingga dieperoleh 

`5x+3=A(x+1)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-1)` selanjutnya kita uraikan dan kelompokan maka:

`5x+3=(A+B+C)x^2 +(-2A-3B+C)x-3A`

Kita menyamakan ruas kiri dan ruas kanan dengan memperhatikan koefisien `x^2` pada ruas kiri `(yaitu 0)` harus sama dengan koefisien `x^2` pada ruas kanan `(A+B+C)`, demikian juga koefisien `x` dan knstanta pada kedua ruas. Dengan memperhatikan persamaan tersebut dapat memberikan sistem persamaan berikut untuk variabel `A,B` dan `C`.

`A+B+C=0`

`-2A-3B+C=5`

`-3A=3`

Jika kita menyelesaikan persamaan- persamaan diatas, maka diperoleh `A=-1, B=-\frac{1}{2}, C=\frac{3}{2}` sehingga,

`\int\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}dx=\int\frac{-1}{x}dx+\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}dx+ \frac{\frac{3}{2}}{x-3}dx`

                                  `=-ln|x|-\frac{1}{2}ln|x+1|+\frac{3}{2}ln|x-3|+C`

Contoh soal linear yang berulang:

Tentukanlah `\int\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx`

Penyelesaian:

Pertama, kita membagi bentuk rasional tersebut karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut. Sehingga hasil pembagian itu adalah

`\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}`

Kedua, kta faktorkan penyebut `Q(x)=x^3-x^2-x+1` dengan cara mensubstitusikan. Diketahui `Q(1)=0` sehingga salah satu faktor polinom `Q(x)` adalah `x-1` dan kita peroleh:

`x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)`

karena faktor linear `x-1` muncul dua kali, maka dekomposisi fraksi parsial adalah

`\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}=\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}`

kita mengalikan penyebut sekutu terkecil yaitu `(x-1)^2` dan `x-1` maka kita peroleh

`4x=A(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x-1)^2`

`4x=(B+C)x^2+(A-2C)x+A-B+C`

Penyamaan koefisien menghasilkan,

`B+C=0`

`A-2C=4`

`A-B+C=0`

Dengan metode eliminasi diperoleh `A=2,B=1,` dan `C=-1`

Sehingga,

 `\int\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx=\int(x+1+\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})dx`

`=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{2}[x-1}+ln|x-1|-ln|x+1|+C`

`=frac{1}{2}x^2+x-\frac{2}[x-1}+ln\frac{|x-1|}{|x+1|}+C`