Integral Tak Tentu

 

INTEGRAL TAK TENTU

ANTI TURUNAN (anti differensiasi)

Anti differensiasi atau integral tak tentu merupakan operasi invers atau kebalikan dari differensiasi atau turunan. Karena itu, rumus- rumus anti differensiasi (integral) dapat diturunkan dari rumus-rumus differensiasi (turunan).

Definisi 1.1

Funsi F disebut sebagai anti turunan atau anti differensiasi atau integral dari fungsi f pada selang I jika F'(x)=f(x) berlaku unntuk setiap x di I.\

Fungsi F juga biasa disebut integral dari f.

CONTOH:

(1) Jika `F(x)=\x^2-2x+3`, maka `F'(x) =2x-2`.

Jika f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai `f(x)=2x-2`, maka `f` turunan dari F dan F adalah anti turunan dari f.

(2) Jika `G(x) =\x^2-2x+5`, maka `G'(x)=2x-2`.

Jika `g` adalah fungsi yang didefinisikan sebagai `g(x)=2x-2`, maka `g` turunan dari `G` dan `G` adalah anti turunan dari `g`.

Perhatikan dua fungsi diatas!!!

Dua fungsi yang berbeda pada contoh (1) dan (2). Dimana fungsi `F` dan `G` berbeda tetapi menghasilkan diferensial yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa dalam integral tak tentu, fungsi hasil pengintegralan selalu ditambahkan dengan sebuah konstanta yang dituliskan dengan huruf `C`. 

NOTASI ANTI TURUNAN:    

Anti turunan dinotasikan sebagai `\int...dx`.

Sehingga rumus umum untuk integral tak tentu adalah:

`\intf(x)dx= F(x)+C`

Dengan C di notasikan sebagai wakil dari konstanta berapa pun nilainya itu seperti pada contoh (1) dan (2). 

Sifat-sifat integral tak tentu:

Jika `F(x)=\frac{1}{2}x^2` maka `F'(x)=f(x)=x`

Berarti, `\int xdx =\frac{1}{2} x^2 +C`

Jika `F(x)=\frac{1}{3} x^3` maka `F'(x) = f(x)=x^2`

Berarti, `\int x^2 dx=\frac{1}{3} x^3 + C`

Jika `F(x)=\frac{1}{4} x^4` maka `F'(x)=f(x) =x^3`

Berarti, `\int x^3 dx=\frac{1}{4} x^4 + C`

Dari ilustrasi diatas dapat disimpulkan sifat integral tak tentu (aturan pangkat) jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1 maka akan diperoleh:

 Teorema 1.1

`\int ax^n dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C`, untuk `n` bilangan rasional dan `n` tidak sama dengan `-1`

Contoh:

Tentukan anti turunan berikut:

`\int2x^3dx`

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus:

`\int ax^n dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C`

Diperoleh bahwa `a=2` dan `n=3`, sehingga;

`\int2x^3dx =\frac{2}{3+1}x^{3+1} +C`

                    `= \frac{2]{4} x^4 +C`

                   ` = \frac[1}{2}x^4+C`

Teorema 1.2 dan Teorema 1.3

(Kelinearan `\int... dx`). andaikan `f` dan `g` mempunyai anti turunan dengan `k` suatu konstanta. maka:

a. `\int kf (x) dx= k\int f(x) dx;`

b. `\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx;` dan oleh karena itu `\int[f(x)-g(x)] dx= \int f(x) - \int g(x) dx.`

Contoh.

1. `\int (3x^2 + 4x)`

Penyelesaian:

`\int (3x^2 + 4x) dx= \int 3x^2 dx + \int4x dx`

                            =`3\int x^2 dx + 4 \int x dx`

                            = `3(\frac{x^3}{3} + C1) + 4 (\frac{x^2}{2} + C2)`

                            =`x^3 +2x^2 + (3C1 +4C2)`

                            =`x^3 +2x^2 + C`

2. `\int(u^{\frac{3}{2}} - 3u + 14) du`

Penyelesaian:

`\int (u^{\frac{3}{2}} - 3u + 14) du= \int u^{\frac{3}{2}} du - 3\intu du + 14 \int 1 du`

                                      =`\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2}u^2 + 14u + C`

3. `\int(\frac{1}{t^2} + \sqrt{t})dt`

Penyelesaian:

`\int(\frac{1}{t^2} + \sqrt{t})dt= \int(t^{-2}+ t^{\frac{1}{2}}) dt`

                                                  `= \intt^{-2} dt + \intt^{\frac{1}{2}}dt`

                                                  `=\frac{t^{-1}}{-1} + \frac{t^\frac3 2}{\frac 3 2} + C`

                                                  `= \frac{-1}{t}+ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+ C`

Teorema 1.4

(Aturan pangkat yang dirampatkan). andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka,

`\int[g(x)]'g'(x)dx=\frac{[g(x)]^{r+1}}{r+1}+ C`

Contoh:

`\int(x^4+3x)^30(4x^3+3)dx`

Penyelesaian:

`g(x) =x^4+3x;` maka `g'(x)= 4x^3 +3.`

`\int(x^4+3x)^30(4x^3+3)dx= \int[g(x)]^30 g'(x) dx`

`= \frac{[g(x)]^31}{31} + C`

`=\frac{(x^4+3x)^31}{31}+C`