Integral Tak Tentu ~ NADIA MUTMAINNAH

INTEGRAL TAK TENTU

ANTI TURUNAN (anti differensiasi)

Anti differensiasi atau integral tak tentu merupakan operasi invers atau kebalikan dari differensiasi atau turunan. Karena itu, rumus- rumus anti differensiasi (integral) dapat diturunkan dari rumus-rumus differensiasi (turunan).

Definisi 1.1

Funsi F disebut sebagai anti turunan atau anti differensiasi atau integral dari fungsi f pada selang I jika F'(x)=f(x) berlaku unntuk setiap x di I.\

Fungsi F juga biasa disebut integral dari f.

CONTOH:

(1) Jika $F(x)=\x^2-2x+3$ , maka $F'(x) =2x-2$ .

Jika f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai $f(x)=2x-2$ , maka $f$ turunan dari F dan F adalah anti turunan dari f.

(2) Jika $G(x) =\x^2-2x+5$ , maka $G'(x)=2x-2$ .

Jika $g$ adalah fungsi yang didefinisikan sebagai $g(x)=2x-2$ , maka $g$ turunan dari $G$ dan $G$ adalah anti turunan dari $g$ .

Perhatikan dua fungsi diatas!!!

Dua fungsi yang berbeda pada contoh (1) dan (2). Dimana fungsi $F$ dan $G$ berbeda tetapi menghasilkan diferensial yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa dalam integral tak tentu, fungsi hasil pengintegralan selalu ditambahkan dengan sebuah konstanta yang dituliskan dengan huruf $C$ .

NOTASI ANTI TURUNAN:

Anti turunan dinotasikan sebagai $\int...dx$ .

Sehingga rumus umum untuk integral tak tentu adalah:

$\intf(x)dx= F(x)+C$

Dengan C di notasikan sebagai wakil dari konstanta berapa pun nilainya itu seperti pada contoh (1) dan (2).

Sifat-sifat integral tak tentu:

Jika $F(x)=\frac{1}{2}x^2$ maka $F'(x)=f(x)=x$

Berarti, $\int xdx =\frac{1}{2} x^2 +C$

Jika $F(x)=\frac{1}{3} x^3$ maka $F'(x) = f(x)=x^2$

Berarti, $\int x^2 dx=\frac{1}{3} x^3 + C$

Jika $F(x)=\frac{1}{4} x^4$ maka $F'(x)=f(x) =x^3$

Berarti, $\int x^3 dx=\frac{1}{4} x^4 + C$

Dari ilustrasi diatas dapat disimpulkan sifat integral tak tentu (aturan pangkat) jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1 maka akan diperoleh:

Teorema 1.1

$\int ax^n dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$ , untuk $n$ bilangan rasional dan $n$ tidak sama dengan $-1$

Contoh:

Tentukan anti turunan berikut:

$\int2x^3dx$

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus:

$\int ax^n dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Diperoleh bahwa $a=2$ dan $n=3$ , sehingga;

$\int2x^3dx =\frac{2}{3+1}x^{3+1} +C$

$= \frac{2]{4} x^4 +C$

$= \frac[1}{2}x^4+C$

Teorema 1.2 dan Teorema 1.3

(Kelinearan $\int... dx$ ). andaikan $f$ dan $g$ mempunyai anti turunan dengan $k$ suatu konstanta. maka:

a. $\int kf (x) dx= k\int f(x) dx;$

b. $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx;$ dan oleh karena itu $\int[f(x)-g(x)] dx= \int f(x) - \int g(x) dx.$

Contoh.

1. $\int (3x^2 + 4x)$

Penyelesaian:

$\int (3x^2 + 4x) dx= \int 3x^2 dx + \int4x dx$

= $3\int x^2 dx + 4 \int x dx$

= $3(\frac{x^3}{3} + C1) + 4 (\frac{x^2}{2} + C2)$

= $x^3 +2x^2 + (3C1 +4C2)$

= $x^3 +2x^2 + C$

2. $\int(u^{\frac{3}{2}} - 3u + 14) du$

Penyelesaian:

$\int (u^{\frac{3}{2}} - 3u + 14) du= \int u^{\frac{3}{2}} du - 3\intu du + 14 \int 1 du$

= $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2}u^2 + 14u + C$

3. $\int(\frac{1}{t^2} + \sqrt{t})dt$

Penyelesaian:

$\int(\frac{1}{t^2} + \sqrt{t})dt= \int(t^{-2}+ t^{\frac{1}{2}}) dt$

$= \intt^{-2} dt + \intt^{\frac{1}{2}}dt$

$=\frac{t^{-1}}{-1} + \frac{t^\frac3 2}{\frac 3 2} + C$

$= \frac{-1}{t}+ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+ C$

Teorema 1.4

(Aturan pangkat yang dirampatkan). andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka,

$\int[g(x)]'g'(x)dx=\frac{[g(x)]^{r+1}}{r+1}+ C$

Contoh:

$\int(x^4+3x)^30(4x^3+3)dx$

Penyelesaian:

$g(x) =x^4+3x;$ maka $g'(x)= 4x^3 +3.$

$\int(x^4+3x)^30(4x^3+3)dx= \int[g(x)]^30 g'(x) dx$

$= \frac{[g(x)]^31}{31} + C$

$=\frac{(x^4+3x)^31}{31}+C$

NADIA MUTMAINNAH

Pages

Sabtu, 25 Februari 2023