Integral Tak Tentu Metode Substitusi

 

Integral Tak Tentu Metode Substitusi

Setelah mengetahui cara mencari anti turunan dari f(x), yaitu: F(x)=f(x) yang bersifat F'(x)=f(x). namun, masih banyak kita jumpai fungsi- fungsi yang tidak mudah untuk ditentukan integralnya. Oleh karena itu, para ahli kalkulus mengembangkan teknik-teknik pengintegrasian untuk mengatasi masalah ini. salah satu caranya adalah dengan menggunakan rumus integral substitusi. Teknik integrasi yang disebut dengan metode atau aturan substitusi, dengan konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang sederhana. Secara umum, metode ini berfungsi bilamana kita mempunyai integral yang dapat dituliskan dalam bentuk `\intf(g(x))g'(x)dx`

Perhatikan bahwa jika `F'=f`, maka

`\intf(g(x))g'(x)dx=\F(g(x))+C`

karena menurut aturan rantai, apabila `F` adalah anti turunan dari `f` (`F'=f`)

`\frac{d}{dx}F(g(x))= F'(g(x)g'(x)`

`=f(g(x))g'(x)` (`F'=f`)

Jika kita membuat "penggantian variabel" atau "pen-substitusian" `u=g(x)`, maka

`\intf(g(x))g'(x)= \int\frac{d}{dx} F(g(x))dx`

`=F(g(x))+C`

`=F(u) +C`

`=\intF'(u)du`

`=\intf(u)du` (`F'=f)

dari persamaan ini kita memperoleh:

`\intf(g(x))g'(x)dx=\intf(u)du`

Jadi kita telah membuktikan aturan berikut.

Jika `u=g(x)` adalah fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang `I` dan `f` kontinu pada `I`, maka

`\intf(g(x))g'(x)dx= \intf(u)du`

Note:

Ide dari aturan substitusi ini adalah kita memilih salah satu bentuk fungsi yang jika dideferensialkan maka bisa saling mensubstitusi dengan fungsi yang lainnya.

CONTOH:

(1) `\int\sqrt{2x+1}dx`

Penyelesaian:

Andaikan `u=2x +1`, maka `du= 2 dx` sehingga `dx =\frac{du}{2}`.

`\int\sqrt{2x+1} dx`

=`\int\sqrtu\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\intu^{\frac{1}{2}}du` (menggunakan teorema`\int kf (x) dx= k\int f(x) dx`)

=`\frac{1}{2}.\frac{u^\frac3 2}{\frac 3 2} + C = \frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}} +C`

=`\frac{1}{3}(2x +1)^{\frac{3}{2}} +C` (mensubstitusi `u`)

(2) `\int3x^2\sqrt{x^3-10}dx`

Penyelesaian:

Hilangkan tanda akar lebih dahulu, maka:

`\int3x^2\sqrt{x^3-10}dx =``\int3x^{2}.(x^{3}-10)^{\frac{1}{2}}dx`

Andaikan `u=x^3-10` maka `\frac{du}{dx}=3x^2` sehingga `dx=\frac{1}{3 x^2}du`

`\int3x^2\sqrt{x^3-10}dx`=`\int3x^2\cdot u^\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3x^2}`

                                   =`\intu^{\frac{1}{2}du`

                                  =`\frac{1}{\frac{1}{2}+1} u^{\frac{1}{2}+1}+C`

                                 =`\frac{1}{\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2}} + C`

                                =`\frac{2}{3}u^{frac{3}{2}} + C`

                                 =`\frac{2}{3}(x^3-10)^{frac{3}{2}} + C`