Integral Teknik Parsial ~ NADIA MUTMAINNAH

Integral Teknik Parsial

Andaikan penggunaan integral dengan metode substitusi tidak berhasil dalam menentukan hasil dari sebuah integral, maka selanjutnya kita akan menggunakan integral parsial. Dimana secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan penyelesaian integral yang integralnya merupakan perkalian dua fungsi uv. Misalkan

u (x)

$u(x)$ dan

v (x)

$v(x)$ adalah fungsi yang dapat didiferensialkan, maka perhatikan hal berikut:

y = u . v

$y=u.v$ maka

d y = d u . v + u . d v

$dy=du.v+u.dv$

\int d y = \int v . d u + \int u . d v

$\intdy=\intv.du+\intu.dv$

y = \int v . d u + \int u . d v

$y=\intv.du +\intu.dv$

u . v = \int v . d u + \int u . d v

$u.v=\intv.du+\intu.dv$

\int u . d v = u . v - \int v . d u

$\intu.dv=u.v-\intv.du$

Sehingga rumus integral parsial adalah:

$\int u . d v = u . v - \int v . d u$ $\intu.dv=u.v-\intv.du$

Integral ini berguna ketika

f

$f$ dapat dideferensialkan berkali-kali dan

g

$g$ dapat diintegralkan berkali-kali tanpa kesulitan. integral

\int x cos x d x

$\intxcosxdx$ dan

\int x^{2} e^{x} d x

$\intx^2e^xdx$ merupakan contoh integral yang demikian karena

f (x) = x

$f(x)=x$ atau

f (x) = x^{2}

$f(x)=x^2$ dapat diferensialkan berkali-kali sampai turunannya bernilai nol, sedangkan

g (x) = cos x

$g(x)=cosx$ atau

g (x) = e^{x}

$g(x)=e^x$ dapat diintegralkan berkali-kali tanpa kesulitan. integral parsial juga dapat digunakan pada integral seperti

\int ln x d x

$\intlnxdx$ dan

\int e^{x} cos x d x

$\inte^xcosxdx$ .

Pada

f (x) = ln x

$f(x)=lnx$ mudah untuk dideferensialkan dan

g (x) = 1

$g(x)=1$ mudah diintegralkan terhadap

x

$x$ dan pada kasus kedua, setiap bagian dari integran terlihat kembali setelah dideferensialkan atai diintegralkan berulang-ulang.

CONTOH:

(1) Tentukan

\int x cos x d x

$\intx cos x dx$

Penyelesaian:

Misalkan:

u = x

$u=x$ maka

\frac{d u}{d x} = 1

$\frac{du}{dx}=1$ sehingga

d u = d x

$du=dx$

d v = cos x d x

$dv=cosxdx$

v = \int cos x d x

$v=\intcosxdx$

= sin x

$=sinx$

\int u . d v = u . v - \int v . d u

$\intu.dv=u.v-\intv.du$

\int x cos x d x = x . sin x - \int sin x d x

$\intx cos x dx= x. sinx - \intsinx dx$

= x sin x + cos x + C

$=x sinx + cosx +C$

(2) Tentukan

\int x ln x d x

$\intx ln x dx$

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

ln x

$ln x$ menjadi lebih mudah jika kita diferensialkan, sehingga kita misalkan:

u = ln x

$u=ln x$ maka

\frac{d u}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$ sehingga

d u = \frac{1}{x} d x

$du=\frac{1}{x}dx$

d v = x d x

$dv=x dx$

v = \int x d x

$v=\int x dx$

= \frac{1}{2} x^{2}

$=\frac{1}{2}x^2$

\int u . d v = u . v - \int v . d u

$\intu.dv=u.v-\intv.du$

\int x ln x d x = ln x (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (\frac{1}{x} d x)

$\intx ln x dx= ln x (\frac{1}{2}x^2)-\int\frac{1}{2}x^2(\frac{1}{x}dx)$

= \frac{1}{2} ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \int x d x

$=\frac{1}{2} ln(x)x^2- \frac{1}{2}\intxdx$

= \frac{1}{2} ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2} + C

$=\frac{1}{2} ln(x)x^2-\frac{1}{2}\frac{1}{2}x^2 +C$

= \frac{1}{2} ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C

$=\frac{1}{2} ln(x)x^2-\frac{1}{4}x^2 + C$

NADIA MUTMAINNAH

Pages

Selasa, 21 Maret 2023