Integral Fungsi Rasional Kuadrat

 Integral Fungsi Rasional kuadrat

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat. selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijaikan jumlah pecahan `n` parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh:

Tentukanlah `\int\frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx`

Penyelesaian:

Penyebut dapat ditulis `x^3+4x=x(x^2+4)`sudah tidak bisa kita faktorkan lagi sehingga dapat kita tuliskan, `\frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}=\frac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}`

kita mengalikan bentuk diatas dengan `x(x^2+4)` pada kedua ruas akan diperoleh,

`2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)x`

`2x^2-x+4=(A+B)x^2+Cx +4A`=

Dengan menyamakan koefisien, kita peroleh

`A+B=2, C=-1, 4A=4`

Dari persamaan tersebut diselesaikan sehingga diperoleh `A=1, B=1, dan C=-1` sehingga,

`\int\frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx=\int[\frac{1}{x}+\frac{x-1}{x^2+4}]dx`

                                     `=\int\frac{dx}{x}+\int\frac{x}{x^2+4}dx-\int\frac{dx}{x^2+4}`

Perhatikan integral `\int\frac{dx}{x^2+4}` yang dapat dituliskan

 `\int\frac{dx}{x^2+4}=\int\frac{dx}{4((\frac{x}{2})^2+1)}`

Dengan memisalkan `u=\frac{x}{2}` maka `du=\frac{dx}{2}`, sehingga `\int\frac{dx}{x^2+4}` adalah

`\int\frac{dx}{x^2+4}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}=\frac{1}{2} tan^{-1}u`

jadi `\int\frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx= ln|x|+\frac{1}{2}ln|x^2+4|-\frac{1}{2} tan^{-1}(\frac{x}{2})+C`

Contoh lain:

Tentukanlah `\int\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}dx`

Penyelesaian:

Perhatikan penyebut`(x^2+1)^2` tidak dapat difaktorkan dan berulang, sehingga

`\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2`

kita mengalikan bentuk diatas dengan `x(x^2+1)^2` pada kedua ruas akan diperoleh,

`1-x+2x^2-x^3=A(x^2+1)^2+(Bx+C)x(x^2+1)+(Dx+E)x`

`1-x+2x^2-x^3=(A+B)x^4+Cx^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A`

Dengan menyamakan koefisien pada kedua ruas, kita peroleh sistem persamaan berikut:

`A+B=0`

`C=-1`

`2A+B+D=2`

`C+E=-1`

`A=1`

Persamaan-persamaan tersebut diselesaikan dan diperoleh `A=1, B=-1, C=-1, D=1 dan E=0`

Sehingga,

`\int\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^2+1)^2} dx= \int(\frac{1}{x}+\frac{-x-1}{(x^2+1)}+\frac{x}{(x^2+1)^2})dx`      

                                       `=\int(frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{(x^2+1)}+\frac{x}{(x^2+1)^2})dx`                      

                                       `=ln|x|-\frac{1}{2}ln|x^2+1|-tan^{-1}x-\frac{1}{2(x^2+1)}+C`