Notasi Sigma

Notasi Sigma

Notasi sigma adalah bentuk penulisan untuk meringkas penjumlahan suku- suku didalam suatu deret. Dimana, suku-suku tertentu mewakili pola tertentu. Dengan kata lain, tidak boleh sembarang suku dengan pola acak. Secara matematis, sigma dilambangkan sebagai `\sum` (bukan E). Lambang itu diambil dari abjad Yunani, yaitu S. Karena pada zaman itu, para ilmuan Yunani menggunakan istilah SUM untuk menjumlahkan data-data hasil penelitian mereka. Oleh sebab itu, arti sigma dalam matematika identik dengan operator penjumlahan.

Penulisan sigma

perhatikan jumlah.

`1^2+2^2+3^2+...+100^2`

dan

`a1+a2+a3+...+an`

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai

`\sum_{i=1}^{100}i^2`

dan yang kedua sebagai

`\sum_{i=1}^{n}ai`

Dengan keterangan:

`\sum`=notasi sigma

`ai`= suku ke-`i`

`i`=indeks penjumlahan

`n`= batas atas indeks untuk penjumlahan.

Untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga, 

`sum_{i=2}^{5}b_i=b_2+b_3+b_4+b_5`

`sum_{j=1}^{n}frac{1}{j}=frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac {1}{3}+...+frac{1}{n}`

`sum_{k=1}^{4}frac{k}{k^2+1}=frac{1}{1^2+1}+frac{2}{2^2+1}+frac{3}{3^2+1}+frac{4}{4^2+1}`

dan, untuk `n>=m`,

`sum_{i=m}^{n}F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)`

Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^{n}ci` mempunyai nilai sama, katakan c , maka

`sum_{i=1}^{n}ci=c+c+c+...+c=nc`

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

`sum_{i=1}^{n}ci=nc`

Khususnya,

`sum_{i=1}^{5}2=5(2)=10`

    Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

Contoh 1

`sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10`

`sum_{k=0}^{4}(2k+2)=2+4+6+8+10`

`sum_{k=2}^{6}(2k-2)=2+4+6+8+10`

 Perubahan indeks jumlah

    Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin menganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut ini diberikan satu contoh illustrasi bahwa hal ini mungkin dilakukan.

Contoh 2

Nyatakan `sum_{k=3}^{7}5^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian :

Misalkan indeks baru adalah j, maka

`j=k-3` sehingga `k=3` maka `j=0` dan jika `k=7`, maka `j=4`. Jadi j bergerak dari `j=0` sampai `j=4`. Sehingga,

`sum_{k=3}^{7}5^{k-2}=sum_{j=0}^{4}5^{(j+3)-2}=sum_{j=0}^{4}5^{j+1}`

Kita dapat mengecek `sum_{k=3}^{7}5^{k-2}` dan `sum_{j=0}^{4}5^{j+1}` adalah

`5+5^2+5^3+5^4+5^5`

 Sifat-sifat notasi sigma                    

(i) `sum_{i=1}^{n}A=n.A`
(ii) `sum_{i=1}^{n}k.u_i=k.sum_{i=1}^{n}u_i`
(iii) `sum_{i=1}^{n}(u_i+v_i)=sum_{i=1}^{n}u_i+sum_{i=1}^{n}v_i`
(iv) `sum_{i=1}^{n}(u_i-v_i)=sum_{i=1}^{n}u_i-sum_{i=1}^{n}v_i`
(v) `sum_{i=1}^{n}u_i+sum_{i=n+1}^{p}u_i=sum_{i=1}^{p}u_i`
(vi) `sum_{i=m}^{n}=sum_{i=m+p}^{n+p}u_{i-p}`

 

Contoh 3

Misalkan `sum_{i=1}^{100}a_i=60` dan `sum_{i=1}^{100}b-i=11`. 

Hitunglah `sum_{i=1}^{100}(2a_i-3b_i+4)`

Penyelesaian :

 

`sum_{i=1}^{100}(2a_i-3b_i+4)=sum_{i=1}^{100}2a_i-sum_{i=1}^{100}3b_i+sum_{i=1}^{100}4`

 

            `=2sum_{i=1}^{100}a_i-3sum{i=1}^{100}b_i+sum_{i=1}^{100}4`

 

            `=2(60)-3(11)+100(4)=487`

 

Contoh 4

Sederhanakanlah `sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})`

Penyelesaian :

 

`sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+...+(a_n-a_{n-1})`

              

                `=-a_0+a_1-a_1_a_2+...+a_{n-1}-a_{n-1}+a_n`

                

                `=-a_b+a_n+a_n-a_0`

Beberapa jumlah khusus

    Pada bagian ini, kita akan meninjau jumlah dari bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke- yang cukup manis. Deret-deret tersbut diantaranya adalah: 

 

(a) `sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=frac{n(n+1)}{2}`
(b) `sum_{k=1}^{n}k^2+1^2+2^2+3^2+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
(c) `sum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3=[frac {n(n+1)}{2}]^2`
(d) `sum_{k=1}^{n}k^4=1^4+2^4+3^4+...+n^4=frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}`

 

Contoh 5

Hitung `sum_{k=1}^{30}k(k+1)`

Penyelesaian :

 

`sum_{k=1}^{30}k(k+1)=sum_{k=1}^{30}(k^2+k)=sum_{k=1}^{30}k^2+sum_{k=1}^{30}k`

 

            `=frac{30(31)(61)}{6}+frac{30(31)}{2}=9920`

 

Catatan:

Dalam rumus

`sum_{k=1}{n}k^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

atau

`1^2+2^2+3^2+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

 

    Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

 

Contoh 6

Ekspresikan `sum_{k=1}^{n}(3+k)^2` dalam bentuk tertutup

Penyelesaian :

 

`sum_{k=1}^{n}(3+k)^2=sum_{k=1}^{n}(9+6k+k^2)`

 

        `=sum_{k=1}^{n}9+6sum_{k=1}^{n}k+sum_{k=1}^{n}k^2`

 

        `=9n+6.frac{n(n+1)}{2}+frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

 

        `=frac{1}{3}n^2+frac{7}{2}n^2+frac{73}{6}n`