Integral Tentu (Bagian 2)
Teorema Dasar Kalkulus
Andaikan f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunann dari f, maka:
∫baf(x)dx=F(x)∫ba=F(b)-F(a)
Bukti:
Andaikan P; a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b adalah partisi sebrang dari [a,b]. Menurut teorema nilai rata-rata untuk turunan yang diterapkan pada F selang [xi-1,xi], diperoleh:
F(x)-F(xi-1)=F′(ci)(xi-xi-1)=f(ci).Δxi untuk suatu ci∈(xi-1,xi)
Sedangkan F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)
=F(xn)-F(xn-1)-F(xn-2)+F(x1)-F(x0)
=n∑i=1[F(x)-F(xi-1)]
=n∑i=1f(ci).Δxi
Bila kedua ruas dilimitkan untuk n→∞, maka diperoleh:
F(b)-F(a)=limn→∞n∑i=1f(ci)Δxi=∫baf(x)dx
Contoh 1.
Perlihatkan bahwa ∫baCdx=C(b-a), C konstanta.
Penyelesaian:
∫baCdx=Cx∫ba=Cb-Ca=C(b-a), C konstanta.
Conoh 2.
Hitunglah ∫21(2x-3x2)dx.
Penyelesaian:
∫21(2x-3x2)dx=x^2-x^3\int_{1}^{2}=(4-8)-(1-1)= -4`
Teorema Pendiferensialan Integral Tentu
Misalkan f koninu pada selang [a,b]. Jika dengan perubah x∈[a,b] dideinisikan dengan G(x)=∫xaf(t)dt. Maka fungsi G mempunyai turunan pada selang [a,b] dengan G′(x)=f(x) untttuk setiap x∈[a,b] atau
G′(x)=rrac{d}{dx}[∫xaf(t)dt]=f(x)
Bukti:
Arti geometri dari ffungsi G pada deffffinisi di atas ialah bahwa unuk f(t)≥0 pada [a,b] nilai G(x) menyatahkan luas daerah yang dibatasi oleh grafik kontinu y=f(t), garis t=a, garist=b, dan sumbu T.
Misalkan x∈[a,bb], sehingga x+Δx∈[a,b]. Menurut definisi fungsi turunan diperoleh:
0 komentar:
Posting Komentar