Integral Tentu (Bagian 2)

 

Integral Tentu (Bagian 2)

Teorema Dasar Kalkulus

Andaikan `f` kontinu pada `[a,b]` dan `F` sebarang anti turunann dari `f`, maka:

`\int_{a}^{b}f(x) dx=F(x)\int_{a}^{b}=F(b)-F(a)`

Bukti:

Andaikan P; `a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b` adalah partisi sebrang dari `[a,b]`. Menurut teorema nilai rata-rata untuk turunan yang diterapkan pada F selang `[x_{i-1},x_{i}]`, diperoleh:

`F(x)-F(x_{i-1})= F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})= f(c_{i}).\Deltax_{i}` untuk suatu `c_{i} \in (x_{i-1},x_{i})`

Sedangkan `F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})`

`=F(x_{n})-F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+F(x_{1})-F(x_{0})`

`=\sum_{i=1}^{n}[F(x)-F(x_{i-1})]`

`=\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}).\Deltax_{i}` 

Bila kedua ruas dilimitkan untuk `n\to\infty`, maka diperoleh:

`F(b)- F(a)= \lim_{n\toinfty}\sum_{i=1}^{n}f(c_{i})\Deltax_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx`

Contoh 1.

Perlihatkan bahwa `\int_{a}^{b}Cdx= C(b-a)`, C konstanta.

Penyelesaian:

`\int_{a}^{b}Cdx=Cx\int_{a}^{b}=Cb-Ca= C(b-a)`, C konstanta.

Conoh 2.

Hitunglah `\int_{1}^{2}(2x-3x^2)dx`.

Penyelesaian:

`\int_{1}^{2}(2x-3x^2)dx`=x^2-x^3\int_{1}^{2}=(4-8)-(1-1)= -4` 

Teorema Pendiferensialan Integral Tentu

Misalkan `f` koninu pada selang `[a,b]`. Jika `` dengan perubah `x \in [a,b]` dideinisikan dengan `G(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt`. Maka fungsi `G` mempunyai turunan pada selang `[a,b]` dengan `G'(x)=f(x)` untttuk setiap `x\in[a,b]` atau

`G'(x)= \rrac{d}{dx}[\int_{a}^{x}f(t) dt]=f(x)`

Bukti:

Arti geometri dari ffungsi `G` pada deffffinisi di atas ialah bahwa unuk `f(t)\geq0` pada `[a,b]` nilai `G(x)` menyatahkan luas daerah yang dibatasi oleh grafik kontinu `y=f(t)`, garis `t=a`, garis`t=b`, dan sumbu `T`.

Misalkan `x \in [a,bb]`, sehingga `x+\Deltax \in [a,b]`. Menurut definisi fungsi turunan diperoleh: