Integral Tentu

 

Integral Tentu

Integral Tentu sebuah fungsi erat sekali hubungannua dengan anti turunan dan integral tak tentu dari sebuah fungsi. Perbedaan pokoknya adalah bahwa integral tertentu, jika ada sebuah nilai bilangan rill, sementara anti turunan dan integtal tentu mewakili sejumlah fungsi yang tak terbatas yang dibedakan hanya oleh suatu nilai konstata. 

Definisi Integral Tentu.

Perkembangan definisi Integral Tentu dimulai dengan  sebuah fungsi `f(x)`, yang kontinu pada selang tertutup `[a,b]`. Selang tersebut dibagi menajadi `"n"` subselang yang meskipun tidak harus panjangnya sama `(\Deltax)`. Sembarang nilai pada ranah, yaitu`x_{1}`, dipilih dari tiap subselang, dan nilai fungsi yang bersesuaian, yaitu `f(x_{1})`, ditentukan. Perkalian tiap nilai fungsi dengan panjang subselangnya dihitung dan sejumlah `"n"` hasil kali ini ditambahkan untuk menentukan hasil penjumlahannnya. Penjumlahan ini disebut JUMLAH RIEMANN dan bisa positif, negatif, ataupun nol., tergantung pada perilaku fungsi tersebut pada selang tertutup. Misalnya, jika `f(x)>0` pada `[a,b]`, maka jumlah riemann akan menjadi bilangan rill positif. Jika `f(x)<0` pada `[a,b]`, maka jumlah riemann akan berupa bilangan rill negatif. Jumlah riemann fungsi `f(x)` pada `[a,b]` adalah sebagai berikut. 

`S_{n}=f(x_{1})\Deltax+f(x_{2})\Deltax+f(x_{3})\Deltax+...f(x_{n})\Deltax,`

atau `S_{n}=\sum_{i=1}^{4}f(x_{i})\Deltax`.

Karena itu, jumlah riemann bisa disebut sebagai "jumlah `n` hasil kali".

Contoh:

Hitunglah jumlah riemann untuk `f(x)=x^2` pada [1,3] dengan menggunakan empat suselang yang panjangnya sama, dimana `x_{1}` adalah titik ujung kanan pada subselang ke `i`.

Karena subselang mempunyai panjang yang sama, dihasilkan

`\Deltax=\frac{b-a}{n}= \frac{3-1}[4}=\frac{1}{2}`

Jumlah riemann untuk empat subselang adalah 

`S_{4}=\sum_{i=1}^{4}f(x_{i})\Deltax`

         `=f(x_{1})\Deltax+f(x_{2})\Deltax+f(x_{3})\Deltax+f(x_{4})\Deltax`

         `=[f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+f(x_{4})]\Deltax`

         `=[f(\frac{3}{2})+f(2)+f(\frac{5}{2})+f(3)]\frac{1}{2}`

        `=[\frac{9}{4}+4+\frac{25}{4}+9]\frac{1}{2}`

        `=[\frac{86}{4}]\frac{1}{2}`

`S_{4}=\frac{43}{4}`

Jika banyaknya subselang naik berkali-kali, akibatnya panjang dari tiap subselang akan semakin mengecil. Dengan kata lain; Jika banyaknya subselang naik tanpa batas `(n\to+\infty)`, maka panjang dari tiap subselang mendekati nol `(\Deltax\to 0)`. Limit dari jumlah riemann ini, jika ada digunakan untuk menentukan integral tentu sebuah fungsi pada `[a,b]`. Jika `f(x)` dari `a` ke `b` ditetapkan sebagai berikut;

`\int_{a}^{b}dx=\lim_{n\to+\infty}S_{n}`

                   `=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Deltax`

                  `=\lim_{\Deltax\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Deltax`

Jika limitnya ada.

Fungsi `f(x)` disebut integran dan peubah `x` adalah peubah pengintegralan. Bilangan `a` dan `b` disebut batas pengintegralan dengan `a` sebagai batas bawah sementara `b` sebagai batas atas.

Perhatikan bahwa simbol `\int`, yang digunakan pada integral tertentu adalah simbol yang sama yang juga digunakan pada integral taktentu dari suatu fungsi. Harus diingat bahwa integral tentu adalah bilangan rill tunggal dan bukan sebuah bilangan tak terbatas demi fungsi yang dihasilkan dati integral taktentu sebuah fungsi.

Ciri-ciri Integral Tentu:

1. `\int_{a}^{a}f(x)dx=0`

2. `\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx`

3. `\int_{a}^{b}cdx=c(b-a)`, dimana c adalah konstanta

4. `\int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx`

5. Aturan penjumlahan: `\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx`

6. Aturan selisih: `\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx`

7. Jika `f(x)\geq0` pada `[a,b]`, maka `\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0`

8. Jika `f(x)\leq0` pada `[a,b]`, maka `\int_{a}^{b}f(x)dx\leq0`

9. Jika `f(x)\geqg(x)` pada `[a,b]`, maka `\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{c}^{b}g(x)dx`

10. Jika `a,b` dan `c` masing-masing adalah tiga titik sembarang pada selang tertutup, maka `\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}g(x)dx`

11. Teorema Nilai Tengah untuk integral tentu: jika `f(x)` kontinu pada selang tertutup `[a,b]`, maka paling tidak terdapat satu bilangan `c` pada selang terbuka `(a,b)` sehingga  `\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)`. Nilai `f(c)` disebut  nilai rata-rata atau nilai tengah dari fungsi `f(x)` pada selang `[a,b]` dan `f(x)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx`

CONTOH:

1. Hitunglah `\int_{2}^{6}3dx`

Penyelesaian: 

`\int_{2}^{6}3dx=3(6-2)=12`

2. Diketahui `\int_{0}^{3} x^2dx=9`, hitunglah `\int_{0}^{3}-4 x^2 dx`

Penyelesaian:

`\int_{0}^{3}-4 x^2 dx=-4\int_{0}^{3} x^2 dx`

                       `=(-4)9`

                       `=-36`

3. Diketahui `\int_{4}^{9}\sqrt{x}dx=\frac{38}{3}`, hitunglah `\int_{9}^{4}\sqrt{x}dx`

Penyelesaian:

`\int_{4}^{9}\sqrt{x}dx=-\int_{4}^{9}\sqrt{x}dx=\frac{38}{3}`