Integral- Tak Wajar

INTEGRAL TAK WAJAR

    Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema :

Misal `f(x)` adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan pada I, maka

`int_{a}^{b} f(x) dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)`

 

Contoh :

1. `int_{2}^{4}(1-x) dx=[x- {1}/{2} x^2]_{2}^{4}`

                    `=(4- {1}/{2}.16)-(2-{1}/{2}.4)`

                    `=-4-0`

                    `=-4`

 

2. `int_{1}^{2} {dx}/{1+x}=[ln |1+x|]_{1}^{2}`

                    `=ln (1+2)-ln(1+1)`

                    `=ln 3-ln 2`

 

3. `int_{1}^{2} dx/{sqrt{1-x}`, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas        karena integran `f(x)={1}/{sqrt 1-x}` tidak terdefinisi pada `x=1`

 

4. `int_{-1}^{1} dx/x` , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran `f(x)=1/x` tidak terdefinisi di `x=0`

        Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar. 

Bentuk `int_{a}^{b} f(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika :

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)` tidak berlaku lagi.

Contoh :

1. `int_{0}^{4} dx/{4-x}`, `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x=4` atau `f(x)` kontinu di [0,4]

2. `int_{1}^{2} dx/sqrt{x-1}`, `f(x)` tidak kontinu di batass bawah `x=1` atau `f(x)` kontinu di [1,2]

3. `int_{0}^{4} dx/ (2-x)^{2/3}`, `f(x)` tidak kontinu di `x=2 in [0,4]` atau `f(x)` kontinu di `[0,2) cup (2,4]`

 

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1) `int_{0}^{infty} dx/ x^2+4`, integran `f(x)` memuat batas di `x=infty`

2) `int_{-infty}^{0} e^{2x} dx`, integran `f(x)` memuat batas bawah di `x=-infty`

3) `int_{-infty}^{infty} dx/ 1+4x^2`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=infty` dan batas bawah di `x=-infty`

    Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( `infty` ). 

     Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

 

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. `f(x)` kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di `x=b`

    Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = b-varepsilon` `(varepsilon -> 0^{+})` , sehingga

`int_{a}^{b} f(x) dx= lim_{varepsilon->0^{+}} int_{a}^{b-c} f(x) dx`

Karena batas atas `x=b-varepsilon (x-> b^{-})`, maka

`int_{a}^{b} f(x)dx=lim_{t->b^{-}} int_{a}^{t} f(x)dx`

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. `int_{0}^{4} dx/sqrt{4-x}=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{0}^{4-varepsilon} dx/ sqrt {4-x}` f(x) tidak kontinu di batas atas `x=4` sehingga

            `=[lim_{varepsilon->0^{+}} -2sqrt{4-x}]_{0}^{4-varepsilon}`

            `= -2 lim_{varepsilon-> 0^{+}} [ sqrt{4-(4-varepsilon)}-sqrt{(4-0)}]`

            `=-2 (lim_{varepsilon->0^{+}} sqrt{varepsilon}-sqrt{4})`

            `=-2(0-2)`

            `=4`

Cara lain

`int_{0}^{4} dx/sqrt{4-x}= lim_{t->4^{-}} int_{0}^{t} dx/ sqrt{4-x}`

                `=lim_{t->4^{-}}[-2 sqrt{4-x}]_0^{t}`

                `= lim_{t->4^{-}} [ -2 sqrt {4-t} + 2 sqrt {4-0}]`

                `=-2(0)+2(2)`

                `=4`

b. `f(x)` kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x=a

    Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x = a +varepsilon(varepsilon-> 0^{+}`, sehingga 

`int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{a+varepsilon}^{b} f(x)dx`

Karena batas bawah `x=a_varepsilon(x->a^{-})` maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

`int_{a}^{b} f(x)dx=lim_t-> a^{+} int_{t}^{b} f(x)dx`

 

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1. `int_{3}^{4}={3dx}/sqrt{x-3}=lim_{t->3^{+}} int_t^{4} {3dx}/sqrt{x-3}`

                `=lim_{t->3^{+}}[3(2)sqrt{x-3}]_t^{4}`

                `=lim_{t->3^{+}}[6sqrt{4-3}-6 sqrt{t-3}]`

                `=6(1)-6(0)`

                `=6`

c. `f(x)` kontinu di [a,c) cup (c,b] dan tidak kontinu di `x=c`

    Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x = c +varepsilon` dan `x = c - varepsilon (varepsilon->0^{+})`, sehingga 

`lim_{a}^{b}f(x)dx=lim_{a}^{c} f(x)dx+ int-{c}^{b} f(x) dx`

`=lim_{varepsilon->0^{+}}int_{a}^{c-varepsilon} f(x)dx+lim_{varepsilon->0^{+}} int_{c-varepsilon}^{b} f(x)`

Dapat juga dinyatakan dengan

`int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{t->b^{-}} int_{a}^{t}f(x)dx+lim_{t->a^{+}} int_t^b f(x)`

 

Perhatikan beberapa contoh dbawah ini.

1. `int_{-1}^{8} x^{-1/3}dx`, `f(x)` tidak kontinu di x=0, sehingga diperoleh

        `int_{-1}^{0}x^{-1/3} dx +int_{0}^{8}x^{-1/3} dx`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{-1}^{0-varepsilon} x^{-1/3}dx+lim_{0->varepsilon^{+}} int_{0+varepsilon}^{8} x^{-1/3} dx`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}}[3/2 x^{2/3}]_{-1}^{0-varepsilon} + lim_{varepsilon->0^{+}}[3/2 x^{2/3}]_{0+varepsilon}^{8}`

            `=-3/2+6`

            `=-9/2`

 

2. `int_{-1}^{1} dx/x^4`, `f(x)` diskontinu di `x=0`, sehingga diperoleh:

`int_{-1}^{1} dx/ x^4=int_{-1}^{0} dx/x^4 + int_{0}^{1} dx/x^4`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}}int_{-1}^{0-varepsilon} dx/x^4+lim_{varepsilon->0^{+}}int_{0+varepsilon}^{1}dx/x^4`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}} [-1/{3x^3}]_{-1}^{0-varepsilon}+lim_{varepsilon->0^{+}} [-1/{3x^3}]_{0+varepsilon}^{8}`

            `=`tidak berarti karena memuat bentuk `1/0`

 

Integral tak wajar dengan batas tak hingga

    Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Integral tak wajar dengan batas atas `x=infty`.

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

`int_{a}^{infty} f(x) dx= lim_{t-> infty} int_{a}^{t} f(x)dx` 

Perhatikan contoh berikut ini

1. `int_{0}^{infty} dx/{x^2+1}= lim_{t->infty} int_{0}^{t} dx/{x^2+4}`

                `=lim_{t->infty} [1/2 arctan x/2]_{0}^{t}`

                `=lim_{t-> infty} [1/2 arctan t/2- 1/2 arctan 0]`

                `=(1/2. pi/2 - 1/2 . 0)`

                `=pi/4`

 

2. `int_{1}^{infty} dx/x^2 = lim_{t-> infty} int_{1}^{t} dx/x^2`

                `=lim_{t->infty}[-1/x]_{1}^{t}`

                `=lim_{t->infty}[-1/t + 1]_{1}^{t}`

                `=1`

 

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di `x=-infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

`int_{-infty}^{a}f(x) dx= lim_{t-> -infty} int_{t}^{a} f(x)dx` 

 

Perhatikan contoh berikut ini:

1. `int_{-infty}^{0} e^{2x} dx= lim_{t-> -infty} [1/2 e^{2x}]_{t}^{0}`

                    `=lim_{t->-infty} [1/2 . 1 - 1/2 e^{2t}]`

                    `=1/2-0`

                    `=1/2`

 

2. `int_{-infty}^{0} dx/{(4-x)^2}=lim_{t->infty} [1/{(4-x)}]_{t}^{0}`

                    `=lim_{t->-infty} [1/{(4-t)} + 1/{(4-0)}]`

                    `=0+1/4`

               `=1/4`

 

c. Integral tak wajar batas atas `x=infty` dan batas bawah di `x=-infty`

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan `int_{-infty}^{infty} f(x)x= int_{-infty}^{a} f(x)dx+int_{a}^{infty}f(x)dx` , sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk: 

`int_{-infty}^{infty} f(x)x=int_{-infty}^{a} f(x)dx+int_{a}^{infty} f(x)dx`

`=lim_{t->-infty} int_{t}^{a} f(x)dx + lim_{t->infty} int_{a}^{t} f(x)dx`

 

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:

1. `int_{-infty}^{infty} dx/{1+4x^2} = int_{-infty}^{0} dx/{1+4x^2} + int_{0}^{infty} dx/{1+4x^2}`

                `=lim_{t->infty} [arctan 4x]_{t}^{0} + lim_{t-> infty} [arctan 4x]_{0}^{t}`

                `=pi/2`

 

2. `int_{-infty}^{infty} {e^x dx}/{e^{2x} + 1} = int_{-infty}^{0} {e^x dx}/ {e^{2x} +1} + int_{0}^{infty} {e^x dx}/{e^{2x} +1}`

                `=lim_{t->-infty} int_[t}^{0} {e^x dx}/{e^{2x}+1} + lim_{t-> infty} int_{0}^{t} {e^x dx}/{e^{2x}+1}`

                `=lim_{t->-infty} (arc tgn e^x)_{t}^{0} + lim_{t->infty} (arc tgn e^x)_{0}^{t}`

                `=pi/2-pi/4+pi/4-0`

                `=pi/2`

 

Read More

Volume Benda Putar (Part 2)

 

Volume Benda Putar (Part 2)

3. Metode Kulit Silinder

    Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

  Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut `r_1` dan `r_2` , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :  

`DeltaV=(pi r_2+pi r_1)h=2pi r Delta r`

dengan : `{r_2+r_1}/{2}=r` (rata-rata, jari-jari); `r_2+r_1=Delta r`.

    Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x),y=0`,`x=a,x=b` diputar mengelilingi sumbu-y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari `r=x` dan `Delta r= Delta x` dan tinggi tabung `h=f(x)`. Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

`V=int_{a}^{b} 2pi x f(x)dx`

    Misal daerah dibatasi oleh kurva `y=f(x),y=g(x)`,`f(x)>=g(x)`, `x in [a,b], x=a` dan `x=b`diputar mengelilingi sumbu-y . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{a}^{b} 2 pi x (f(x)-g(x))dx`

    Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan `x=f(x)`,`x=0,y=c,y=d`dengan diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{c}^{d} 2 pi y f(y) dy`

    Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh `x=f(y),x=g(y)`,`f(y)>=g(y)`, `y in [c,d], y=c` dan `y=d`  diputar mengelilingi sumbu-x . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{c}^{d} 2 pi y (f(y)-g(y))dy`

 

Contoh

1. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh `y=sqrt{x}, x=4, y=0`  ; mengelilingi sumbu `x=4`

Jawab :

Jika irisan diputar terhadap garis `x=4` akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari dan tinggi tabung `sqrt{x}`

Sehingga diperoleh, 

        `DeltaV approx 2pi (4-x) sqrt{x} Delta x`

        `0<= x <=4`

        Sehingga diperoleh,

                    `V=int_{0}^{4} 2pi((4-x)sqrt{x})dx`

                    `=2pi int_{0}^{4} (4sqrt{x}-x^{3/2})dx`

                    `=2pi[8/3 x^{3/2}-2/5 x^{5/2}]_{0}^{4}= 17/15 pi`

                    `v=17/15 pi approx 3,56` satuan volume

2. Tentukavolume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh `y=x^2, y=2x` mengelilingi sumbu-y

Jawab

Mencari titik potong:

`x^2=2x<-> x^2-2x=0<->x(x-2)=0`

Jadi, titik potong adalah x=0 dan x=2

Jika irisan diputar terhadap sumbu-y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari x dan tinggi tabung `2x-x^2`

Sehingga diperoleh

        `DeltaV approx 2pi x(2x-x^2) Delta x`

        `0<= x <=2`

        Sehingga diperoleh,

                    `V=int_{0}^{2} 2pix(2x-x^2)dx`

                    `=2pi int_{0}^{2} (2x^2-x^3)dx`

                    `=2pi[2/3 x^3 - 1/4x^4]_{0}^{2}= 8/3 pi`

                    `v=8/3 pi approx 8,38` satuan volume

 

Read More

Volume Benda Putar

 

VOLUME BENDA PUTAR

Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh `h` dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas `A` dikalikan tinggi `h`, yakni

 

`V=A.h`

Gambar  1

Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada x adalah `A(x)` dengan `a<=x<=b` (Gambar 2). Kita partisikan interval [a,b] dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b` . Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu-x , sehingga mengiris benda menjadi lempengan-lempengan tipis (Gambar 3). Volume `DeltaV`suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni

`DeltaV_i=A(barx_i)Deltax_i`

 

 

(Ingat bahwa `barx_i`, disebut titik sampel adalah sebarang bilangan dalam interval {`x_{i-1},x_i`]).

Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

 

`V approx sum_{i=1}^{n}A(barx_i)Delta x_i`

 

    Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

 

`V= int_{a}^{b}A(x)dx`

 

a. Pemutaran mengelilingi sumbu x

    Misal adalah luasan yang dibatasi oleh `y=f(x),x=a,x=b` . Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu- x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu-x membentuk bangun berupa benda padat (pejal), yang dapat diiris menjadika lempengan-lempengan. Volume `Deltax` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni

 

`DeltaV_i=A(barx_i)Deltax_i`

    Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

`V approx sum_{i=1}^{n}A(barx_i)Deltax_i`

    Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

`V=int_{a}^{b}A(x)dx`
`V=int_{a}^{b} pi(y^2)dx=pi int_{a}^{b} y^2 dx`

 

    Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu `y_1=f(x),y_2=g(x),x=a,x=b`.  Dengan `y_1>=y_2` Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x , maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V=pi int_{a}^{b}(y_1^2 - y_2^2) dx`

 

b. Pemutaran mengelilingi sumbu y

    Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh `x=f(y),y=c,y=d` . Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-y . Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu:

`V=pi int_{c}^{d} x^2 dy`

    Jika dibatasi oleh dua kurva, yaitu `x_1=f(y),x_2=g(y),y=c,y=d`. Dengan `x_1>=x_2` . Selanjutnya R  diputar mengelilingi sumbu- y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V=pi int_{c}^{d}(x_1^2 - x_2^2) dy`

 

    Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasil kali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Bila luas alas dinyatakan dengan `A(x)` dan tinggi benda putar adalah panjang selang [a,b] , maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut:

`V=int_{a}^{b}A(x) dx`

    Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

 

1. Metode Cakram

    Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x),y=0,x=1` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-x . Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

    Misal pusat cakram (x_0,0) dan jari-jari `r=f(x_0). Maka luas cakram dinyatakan :

`A(x_0)=pi(f(x_0))^2=pi f^2 (x_0)`

Oleh karena itu, volume benda putar : 

`V=int_{a}^{b} pi (f(x))^2dx=pi int_{a}^{b} (f(x))^2 dx`

    Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu- y? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y),x=0,y=c,y=d` diputar mengelilingi sumbu- y, maka volume benda putar : 

`V=int_{a}^{b} pi (g(y))^2dx=pi int_{a}^{b} (g(y))^2 dy`

    Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)>=0`, `y=g(x)>=0,f(x)>=g(x)`untuk setiap `x in [a,b], x=a` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-x , maka volume :

`V=int_{c}^{d} pi ((f(x))^2-(g(x))^2) dx`

    Bila daerah yang dibatasi oleh `x=f(y)>=0,x=g(y)>=0,f(y)>=g(y)` untuk setiap `y in [c,d],x=c` dan `x=d` diputar terhadap sumbu-y , maka volume : 

`V=int_{a}^{b} pi ((f(y))^2-(g(y))^2) dy`

 

Contoh

Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :

`y=2-x^2, y=-x` dan sumbu-y bila diputar mengelilingi garis `y=-2` 

Jawab

Kedua kurva berpotongan di (-1,1) dan )-2,2). Pada selang [-1,2] berlaku `2-x^2>=-x`. 

Jarak kurva `y=2-x^2, y=-x` terhadap sumbu putar (garis `y=-2`) dapat dpandang sebagai jari jari dari cakram, sehingga diperoleh `(2-x^2)-(-2)=4-x^2` dan `-x-(-2)=2-x`. Maka berturut turut adalah `(4-x^2)` dan (2-x)`.

`DeltaV approx pi[(4-x^2)^2-(2-x)^2]Deltax= pi{x^4-9x^2+4x+12)Deltax`

`-1<=x<=2`

Sehingga diperoleh,

        `V= int_{-1}^{2} pi (x^4-9x^2+4x+12)dx`

                `=pi int_{-1}^{2} (x^4-9x^2+4x+12)dx`

                `=pi[x^5/5 - 3x^3+2x^2+12x]_{-1}^{2} = 108/5 pi`

        `V=108/5 pi approx 67,86` satuan volume

 

2. Metode Cincin

    Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut

 

    Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan tmerupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut

`V=pi(R^2-r^2)t`

    Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

 

    Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah

`V=pi int_{a}^{b}[(R(x))^2-(r(x))^2]dx`

 

Contoh

1. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh grafik dari `y=x^2`, sumbu-x dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1

Jawab

Jika irisan diputar terhadap garis `y=-1` akan diperoleh suatu cincin dengan jari jari dalam 1 dan jari jari luar `1+x^2`

            `DeltaV approx pi [(1+x^2)^2-1^2] Delta x = pi (x^4+2x^2) Deltax`

            `0<=x<=2`

            Sehingga diperoleh,

            `V=int_{0}^{2}pi(x^4+2x^2)dx`

                    `=pi int_[0}^{2} (x^4+2x^2)dx`

                    `=pi[x^5/5+2/3x^3]_{0}^{2} = 176/15 pi`

            `V= 176/15pi approx 36,86` satuan volume

2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva kurva:

`y=2-x^2, y=-x` dan sumbu-y bila diputar mengelilingi garis `y=-2`

Jawab

Kedua kurva berpotongan di (-1,1) dan (-2,2). Pada selamg [-1,2] berlaku `2-x^2>=-x`.

Jarak kurva `y=2-x^2, y=-x` terhadap sumbu putar (garis `y=-2`) dapat dipandang sebagai jari jari cakram, sehingga diperoleh `(2-x^2)-(-2)=4-x^2` dan `-x-(-2)=2-x`. Maka berturut turut adalah `(4-x^2)` dan `(2-x)`.

            `DeltaV approx pi [(4-x^2)^2 - (2-x)^2] Delta x = pi (x^4-9x^2+4x+12) Deltax`

            `-1<=x<=2`

            Sehingga diperoleh,

            `V=int_{-1}^{2}pi(x^4-9x^2+4x+12)dx`

                    `=pi int_[-1}^{2} (x^4-9x^2+4x+12)dx`

                    `=pi[x^5/5-3x^3+2x^2+12x]_{-1}^{2} = 108/5 pi`

            `V= 108/5pi approx 67,86` satuan volume

 

Read More

Aplikasi Integral tertentu

 

Luas Daerah Bidang Datar

Materi ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan (4) luas permukaan. 

Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam bahasan ini adalah menentukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar. 

Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, dapat menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:

A. Luas Satuan Luasan

    Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan `y = f (x)` atau `x = g( y)` atau `y=f (x)`, `x= g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. 

    Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan `y = f (x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu-x atau luasan dengan persamaan `x = g( y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu-y . Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud.

Gambar 1

    Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y = f (x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu- atau luasan dengan persamaan `x = g( y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu- . Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

Gambar 2.

Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya `y_2=f(x)` dan `y_2=g(x)` . Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva.

 

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat

Perhatikan gambar luasan dibawah ini.

 

Gambar 3

 

     R sebagaimana terlihat pada Gambar 3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva `y=f(x), x=a, x=b`. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan dinyatakan dengan

`A(R)=int_{a}^{b}f(x)dx`

    Jika luasan terletak di bawah sumbu- , maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk,

`A(R)=int_{a}^{b}-f(x)dx=|int_{a}^{b}f(x)dx|`

    Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :

a) Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu- atau sumbu- , selanjutnya irislah (bagi) luasan dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.

c) Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai sebuah persegi panjang. 

d) Jumlahkan aproksimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk. 

e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan.

 

Contoh 1

Susunlah integral untuk daerah di bawah kurva √ di antara dan . (Gambar 4)

 

Gambar 4

    3. Aproksimasikan luas irisan khas: `DeltaA_i=(1+sqrtx_i)Delta x_i`

    4. Jumlahkan: `A(R)approx sum_{i=1}^{n}(1+sqrtx_i)Deltax_i`

    5. Ambil limit: `A(R)=int_{0}^{4}(1+sqrtx_i)dx`

Jawab

 Begitu kita memahami prosedur lima langkah ini, kita dapat menyingkatnya menjadi tiga langkah: iris, aproksimasikan, integrasikan. Pikirkan kata integrasikan sebagai gabungan dua langkah: (1) jumlah luas irisan dan (2) ambil limit ketika lebar irisan menuju nol. Dalam proses ini `sum...Deltax` berubah menjadi `int` ketika kita mengambil limit. Gambar 5 memberikan bentuk yang diringkas untuk masalah yang sama.

1. 

Gambar 5

2. Aproksimasikan

    `DeltaA approx (1+sqrtx)Deltax`

3. Integrasikan

    `A(R)=int_{0}^{4}(1+sqrtx)dx`
  

Contoh 2

Segitiga ABC terletak pada , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(0,0) dan C(3,7) . Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Jawab:

Gambar segitiga ABC adalah 

Gambar 6

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

`{y-y_A}/{x-x_A}={y_C-y_A}/{x_C-x_A}`

 

Diperoleh persamaan `{y-0}/{x-0}={7-0}/{3-0}`

`3y=7x` atau `y=7/3 x`

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan `A(R)=int_{a}^{b}f(x)dx`

`<=>int_{0}^{3}7/3 x dx=7/6 x^2|_{0}^{3}=7/6.9=10,5` satuan luas

 

Contoh 3

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `y=4-x^2` dan sumbu-sumbu koordinat. 

Jawab 

Luasan `y=4-x^2` yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah

 

Gambar 7

Perhatikan Gambar 7 di atas luasan yang diketahui berada di atas sumbu- sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral, yaitu:

`A(R)=int_{a}^{b} f(x)dx`

`<=>int_{-2}^{2}(4-x^2)dx`

`<=>2 int_{0}^{2}(4-x^2)dx`

`<=>2(4x-1/3 x^3)_{0}^{2}`

`<=>2(4.2-1/3 .2^3)-2(4.0-1/3 .0^3)`

`<=>2(8-8/3)=32/3`

 

Contoh 4

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `x=y^2` dan garis `x=4`

 

Gambar 8

Dengan cara yang sama luas luasan diatas dinyatakan dengan

`int_{0}^{4}f(x)dx+int_{0}^{4}-f(x)dx`

`<=>int_{0}^{4}f(x)dx+int_{0}^{4}-f(x)dx`

`<=>int_{0}^{4} sqrt x dx + int_{0}^{4}-(-sqrtx) dx`

`<=>2 int_{0}^{4}sqrtx dx`

`<=>2(2/3 x^{3/2})^_{0}^{4}=4/3.8=32/3`

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini:

 

Gambar 9

Luasan pada Gambar 9 di atas dibatasi oleh kurva `x=g(y), y=c, y=d` dan `x=0` . Dengan integral tertentu luasan yang berada disebelah kanan sumbu-x dinyatakan dalam bentuk

`A(R)=int_{c}^{d}g(y)dy`

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu-x , maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:

    `A(R)=int_{c}^{d}-g(y)dx=|int_{c}^{d}g(y)dy|`

 

Contoh 5

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `x=y^2` dan garis `y=-2,y=2`

Jawab

Luasan `x=y^2` dan garis `y=-2,y=2` dapat digambarkan sebagai berikut:

 

Gambar 10

Sehingga luas luasan tersebut adalah

`A(R)=int_{c}^{d} g(y)dy`

`<=> int_{-2}^{2}y^2 dy`

`<=>2 int_{0}^{2} y^2 dy`

`<=> 2(1/3 y^3)_{0}^{2}=16/3`

b. Daerah antara dua kurva

    Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah `y=f(x)` dan `y=g(x)` dengan `f(x)>=g(x)` pada selang [a,b] . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan luasan negatif. Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.

 

Perhatikan Gambar 11 berikut ini.

 

Gambar 11

`DeltaA approx (f(x)-g(x))Deltax`

sehingga luasan dinyatakan dengan:

`A(R)=int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx`

    Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu-x , jika luasannya disebelah kanan sumbu-y  , maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan 

`A(R)=int_{c}^{d}(f(y)-g(y))dy`

 

Contoh 6

Carilah luas daerah di antara kurva `y=x^4` dan `y=2x-x^2`

Jawab

 

Gambar 12

Mencari titik titik perpotongan kedua persamaan

`x^4=2x-x^2->2x-x^2-x^4=0`

        `x=0` atau `x=1`

Sehingga diperoleh,

`DeltaA(R) approx [(2x-x^2)-x^4]Deltax=(-x^4-x^2+2x)Deltax`

    `A(R)=int_{0}^{1}(-x^4-x^2+2x)dx`

            `=[-1/5 x^5-1/3 x^3+x^2]_{0}^{1}`

            `=(-1/5 .1^5-1/3 .1^3+1^2)-0`

            `=-1/5-1/3+1=7/15`

`A(R)=7/15 approx 0,46` satuan luas

 

Read More