Integral- Tak Wajar

INTEGRAL TAK WAJAR

    Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema :

Misal `f(x)` adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan pada I, maka

`int_{a}^{b} f(x) dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)`

 

Contoh :

1. `int_{2}^{4}(1-x) dx=[x- {1}/{2} x^2]_{2}^{4}`

                    `=(4- {1}/{2}.16)-(2-{1}/{2}.4)`

                    `=-4-0`

                    `=-4`

 

2. `int_{1}^{2} {dx}/{1+x}=[ln |1+x|]_{1}^{2}`

                    `=ln (1+2)-ln(1+1)`

                    `=ln 3-ln 2`

 

3. `int_{1}^{2} dx/{sqrt{1-x}`, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas        karena integran `f(x)={1}/{sqrt 1-x}` tidak terdefinisi pada `x=1`

 

4. `int_{-1}^{1} dx/x` , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran `f(x)=1/x` tidak terdefinisi di `x=0`

        Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar. 

Bentuk `int_{a}^{b} f(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika :

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)` tidak berlaku lagi.

Contoh :

1. `int_{0}^{4} dx/{4-x}`, `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x=4` atau `f(x)` kontinu di [0,4]

2. `int_{1}^{2} dx/sqrt{x-1}`, `f(x)` tidak kontinu di batass bawah `x=1` atau `f(x)` kontinu di [1,2]

3. `int_{0}^{4} dx/ (2-x)^{2/3}`, `f(x)` tidak kontinu di `x=2 in [0,4]` atau `f(x)` kontinu di `[0,2) cup (2,4]`

 

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1) `int_{0}^{infty} dx/ x^2+4`, integran `f(x)` memuat batas di `x=infty`

2) `int_{-infty}^{0} e^{2x} dx`, integran `f(x)` memuat batas bawah di `x=-infty`

3) `int_{-infty}^{infty} dx/ 1+4x^2`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=infty` dan batas bawah di `x=-infty`

    Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( `infty` ). 

     Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

 

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. `f(x)` kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di `x=b`

    Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = b-varepsilon` `(varepsilon -> 0^{+})` , sehingga

`int_{a}^{b} f(x) dx= lim_{varepsilon->0^{+}} int_{a}^{b-c} f(x) dx`

Karena batas atas `x=b-varepsilon (x-> b^{-})`, maka

`int_{a}^{b} f(x)dx=lim_{t->b^{-}} int_{a}^{t} f(x)dx`

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. `int_{0}^{4} dx/sqrt{4-x}=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{0}^{4-varepsilon} dx/ sqrt {4-x}` f(x) tidak kontinu di batas atas `x=4` sehingga

            `=[lim_{varepsilon->0^{+}} -2sqrt{4-x}]_{0}^{4-varepsilon}`

            `= -2 lim_{varepsilon-> 0^{+}} [ sqrt{4-(4-varepsilon)}-sqrt{(4-0)}]`

            `=-2 (lim_{varepsilon->0^{+}} sqrt{varepsilon}-sqrt{4})`

            `=-2(0-2)`

            `=4`

Cara lain

`int_{0}^{4} dx/sqrt{4-x}= lim_{t->4^{-}} int_{0}^{t} dx/ sqrt{4-x}`

                `=lim_{t->4^{-}}[-2 sqrt{4-x}]_0^{t}`

                `= lim_{t->4^{-}} [ -2 sqrt {4-t} + 2 sqrt {4-0}]`

                `=-2(0)+2(2)`

                `=4`

b. `f(x)` kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x=a

    Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x = a +varepsilon(varepsilon-> 0^{+}`, sehingga 

`int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{a+varepsilon}^{b} f(x)dx`

Karena batas bawah `x=a_varepsilon(x->a^{-})` maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

`int_{a}^{b} f(x)dx=lim_t-> a^{+} int_{t}^{b} f(x)dx`

 

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1. `int_{3}^{4}={3dx}/sqrt{x-3}=lim_{t->3^{+}} int_t^{4} {3dx}/sqrt{x-3}`

                `=lim_{t->3^{+}}[3(2)sqrt{x-3}]_t^{4}`

                `=lim_{t->3^{+}}[6sqrt{4-3}-6 sqrt{t-3}]`

                `=6(1)-6(0)`

                `=6`

c. `f(x)` kontinu di [a,c) cup (c,b] dan tidak kontinu di `x=c`

    Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x = c +varepsilon` dan `x = c - varepsilon (varepsilon->0^{+})`, sehingga 

`lim_{a}^{b}f(x)dx=lim_{a}^{c} f(x)dx+ int-{c}^{b} f(x) dx`

`=lim_{varepsilon->0^{+}}int_{a}^{c-varepsilon} f(x)dx+lim_{varepsilon->0^{+}} int_{c-varepsilon}^{b} f(x)`

Dapat juga dinyatakan dengan

`int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{t->b^{-}} int_{a}^{t}f(x)dx+lim_{t->a^{+}} int_t^b f(x)`

 

Perhatikan beberapa contoh dbawah ini.

1. `int_{-1}^{8} x^{-1/3}dx`, `f(x)` tidak kontinu di x=0, sehingga diperoleh

        `int_{-1}^{0}x^{-1/3} dx +int_{0}^{8}x^{-1/3} dx`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{-1}^{0-varepsilon} x^{-1/3}dx+lim_{0->varepsilon^{+}} int_{0+varepsilon}^{8} x^{-1/3} dx`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}}[3/2 x^{2/3}]_{-1}^{0-varepsilon} + lim_{varepsilon->0^{+}}[3/2 x^{2/3}]_{0+varepsilon}^{8}`

            `=-3/2+6`

            `=-9/2`

 

2. `int_{-1}^{1} dx/x^4`, `f(x)` diskontinu di `x=0`, sehingga diperoleh:

`int_{-1}^{1} dx/ x^4=int_{-1}^{0} dx/x^4 + int_{0}^{1} dx/x^4`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}}int_{-1}^{0-varepsilon} dx/x^4+lim_{varepsilon->0^{+}}int_{0+varepsilon}^{1}dx/x^4`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}} [-1/{3x^3}]_{-1}^{0-varepsilon}+lim_{varepsilon->0^{+}} [-1/{3x^3}]_{0+varepsilon}^{8}`

            `=`tidak berarti karena memuat bentuk `1/0`

 

Integral tak wajar dengan batas tak hingga

    Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Integral tak wajar dengan batas atas `x=infty`.

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

`int_{a}^{infty} f(x) dx= lim_{t-> infty} int_{a}^{t} f(x)dx` 

Perhatikan contoh berikut ini

1. `int_{0}^{infty} dx/{x^2+1}= lim_{t->infty} int_{0}^{t} dx/{x^2+4}`

                `=lim_{t->infty} [1/2 arctan x/2]_{0}^{t}`

                `=lim_{t-> infty} [1/2 arctan t/2- 1/2 arctan 0]`

                `=(1/2. pi/2 - 1/2 . 0)`

                `=pi/4`

 

2. `int_{1}^{infty} dx/x^2 = lim_{t-> infty} int_{1}^{t} dx/x^2`

                `=lim_{t->infty}[-1/x]_{1}^{t}`

                `=lim_{t->infty}[-1/t + 1]_{1}^{t}`

                `=1`

 

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di `x=-infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

`int_{-infty}^{a}f(x) dx= lim_{t-> -infty} int_{t}^{a} f(x)dx` 

 

Perhatikan contoh berikut ini:

1. `int_{-infty}^{0} e^{2x} dx= lim_{t-> -infty} [1/2 e^{2x}]_{t}^{0}`

                    `=lim_{t->-infty} [1/2 . 1 - 1/2 e^{2t}]`

                    `=1/2-0`

                    `=1/2`

 

2. `int_{-infty}^{0} dx/{(4-x)^2}=lim_{t->infty} [1/{(4-x)}]_{t}^{0}`

                    `=lim_{t->-infty} [1/{(4-t)} + 1/{(4-0)}]`

                    `=0+1/4`

               `=1/4`

 

c. Integral tak wajar batas atas `x=infty` dan batas bawah di `x=-infty`

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan `int_{-infty}^{infty} f(x)x= int_{-infty}^{a} f(x)dx+int_{a}^{infty}f(x)dx` , sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk: 

`int_{-infty}^{infty} f(x)x=int_{-infty}^{a} f(x)dx+int_{a}^{infty} f(x)dx`

`=lim_{t->-infty} int_{t}^{a} f(x)dx + lim_{t->infty} int_{a}^{t} f(x)dx`

 

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:

1. `int_{-infty}^{infty} dx/{1+4x^2} = int_{-infty}^{0} dx/{1+4x^2} + int_{0}^{infty} dx/{1+4x^2}`

                `=lim_{t->infty} [arctan 4x]_{t}^{0} + lim_{t-> infty} [arctan 4x]_{0}^{t}`

                `=pi/2`

 

2. `int_{-infty}^{infty} {e^x dx}/{e^{2x} + 1} = int_{-infty}^{0} {e^x dx}/ {e^{2x} +1} + int_{0}^{infty} {e^x dx}/{e^{2x} +1}`

                `=lim_{t->-infty} int_[t}^{0} {e^x dx}/{e^{2x}+1} + lim_{t-> infty} int_{0}^{t} {e^x dx}/{e^{2x}+1}`

                `=lim_{t->-infty} (arc tgn e^x)_{t}^{0} + lim_{t->infty} (arc tgn e^x)_{0}^{t}`

                `=pi/2-pi/4+pi/4-0`

                `=pi/2`