INTEGRAL
TAK WAJAR
Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat
kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema :
Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan pada I, maka
∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)-F(a)
Contoh :
1. ∫42(1-x)dx=[x-12x2]42
=(4-12.16)-(2-12.4)
=-4-0
=-4
2. ∫21dx1+x=[ln|1+x|]21
=ln(1+2)-ln(1+1)
=ln3-ln2
3.
∫21dx√1-x, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di
atas karena integran f(x)=1√1-x tidak terdefinisi pada x=1
4. ∫1-1dxx , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran f(x)=1x tidak terdefinisi di x=0
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.
Bentuk ∫baf(x)dx disebut Integral Tidak Wajar jika :
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak
kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di
titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus ∫baf(x)dx=F(b)-F(a) tidak berlaku lagi.
Contoh :
1. ∫40dx4-x, f(x) tidak kontinu di batas atas x=4 atau f(x) kontinu di [0,4]
2. ∫21dx√x-1, f(x) tidak kontinu di batass bawah x=1 atau f(x) kontinu di [1,2]
3. ∫40dx(2-x)23, f(x) tidak kontinu di x=2∈[0,4]
atau f(x) kontinu di [0,2)∪(2,4]
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda
tak hingga
1) ∫∞0dxx2+4, integran f(x) memuat batas di x=∞
2) ∫0-∞e2xdx, integran f(x) memuat batas bawah di
x=-∞
3) ∫∞-∞dx1+4x2, integran f(x) memuat batas atas di
x=∞ dan batas bawah di x=-∞
Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ∞ ).
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak
wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi
di tak hingga.
Integral tak wajar dengan integran diskontinu
a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x=b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x=b-ɛ (ɛ→0+) , sehingga
∫baf(x)dx=limɛ→0+∫b-caf(x)dx
Karena batas atas x=b-ɛ(x→b-), maka
∫baf(x)dx=limt→b-∫taf(x)dx
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. ∫40dx√4-x=limɛ→0+∫4-ɛ0dx√4-x f(x) tidak kontinu di batas atas x=4 sehingga
=[limɛ→0+-2√4-x]4-ɛ0
=-2limɛ→0+[√4-(4-ɛ)-√(4-0)]
=-2(limɛ→0+√ɛ-√4)
=-2(0-2)
=4
Cara lain
∫40dx√4-x=limt→4-∫t0dx√4-x
=limt→4-[-2√4-x]t0
=limt→4-[-2√4-t+2√4-0]
=-2(0)+2(2)
=4
b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x=a
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x=a+ɛ(ɛ→0+, sehingga
∫baf(x)dx=limɛ→0+∫ba+ɛf(x)dx
Karena batas bawah x=aɛ(x→a-) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:
∫baf(x)dx=limt→a+∫btf(x)dx
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1. ∫43=3dx√x-3=limt→3+∫4t3dx√x-3
=limt→3+[3(2)√x-3]4t
=limt→3+[6√4-3-6√t-3]
=6(1)-6(0)
=6
c. f(x) kontinu di [a,c) cup (c,b] dan tidak kontinu di x=c
Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x=c+ɛ dan x=c-ɛ(ɛ→0+), sehingga
blimaf(x)dx=climaf(x)dx+∫-{c}bf(x)dx
=limɛ→0+∫c-ɛaf(x)dx+limɛ→0+∫bc-ɛf(x)
Dapat juga dinyatakan dengan
∫baf(x)dx=limt→b-∫taf(x)dx+limt→a+∫btf(x)
Perhatikan beberapa contoh dbawah ini.
1. ∫8-1x-13dx, f(x) tidak kontinu di x=0, sehingga diperoleh
∫0-1x-13dx+∫80x-13dx
=limɛ→0+∫0-ɛ-1x-13dx+lim0→ɛ+∫80+ɛx-13dx
=limɛ→0+[32x23]0-ɛ-1+limɛ→0+[32x23]80+ɛ
=-32+6
=-92
2. ∫1-1dxx4, f(x) diskontinu di x=0, sehingga diperoleh:
∫1-1dxx4=∫0-1dxx4+∫10dxx4
=limɛ→0+∫0-ɛ-1dxx4+limɛ→0+∫10+ɛdxx4
=limɛ→0+[-13x3]0-ɛ-1+limɛ→0+[-13x3]80+ɛ
=tidak berarti karena memuat bentuk
10
Integral tak wajar dengan batas tak hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.
a. Integral tak wajar
dengan batas atas x=∞.
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana
variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar
dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.
∫∞af(x)dx=limt→∞∫taf(x)dx
Perhatikan contoh berikut ini
1. ∫∞0dxx2+1=limt→∞∫t0dxx2+4
=limt→∞[12arctanx2]t0
=limt→∞[12arctant2-12arctan0]
=(12.π2-12.0)
=π4
2. ∫∞1dxx2=limt→∞∫t1dxx2
=limt→∞[-1x]t1
=limt→∞[-1t+1]t1
=1
b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x=-∞
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana
variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak
wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:
∫a-∞f(x)dx=limt→-∞∫atf(x)dx
Perhatikan contoh berikut ini:
1. ∫0-∞e2xdx=limt→-∞[12e2x]0t
=limt→-∞[12.1-12e2t]
=12-0
=12
2. ∫0-∞dx(4-x)2=limt→∞[1(4-x)]0t
=limt→-∞[1(4-t)+1(4-0)]
=0+14
=14
c. Integral tak wajar batas atas x=∞ dan batas bawah di x=-∞
Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua
integral tak wajar dengan ∫∞-∞f(x)x=∫a-∞f(x)dx+∫∞af(x)dx , sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar
ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:
∫∞-∞f(x)x=∫a-∞f(x)dx+∫∞af(x)dx
=limt→-∞∫atf(x)dx+limt→∞∫taf(x)dx
Perhatikan
beberapa contoh dibawah ini:
1. ∫∞-∞dx1+4x2=∫0-∞dx1+4x2+∫∞0dx1+4x2
=limt→∞[arctan4x]0t+limt→∞[arctan4x]t0
=π2
2. ∫∞-∞exdxe2x+1=∫0-∞exdxe2x+1+∫∞0exdxe2x+1
=limt→-∞∫0texdxe2x+1+limt→∞∫t0exdxe2x+1
=limt→-∞(arctgnex)0t+limt→∞(arctgnex)t0
=π2-π4+π4-0
=π2
.png)
0 komentar:
Posting Komentar