Volume Benda Putar (Part 2)

 

Volume Benda Putar (Part 2)

3. Metode Kulit Silinder

    Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

  Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut `r_1` dan `r_2` , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :  

`DeltaV=(pi r_2+pi r_1)h=2pi r Delta r`

dengan : `{r_2+r_1}/{2}=r` (rata-rata, jari-jari); `r_2+r_1=Delta r`.

    Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x),y=0`,`x=a,x=b` diputar mengelilingi sumbu-y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari `r=x` dan `Delta r= Delta x` dan tinggi tabung `h=f(x)`. Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

`V=int_{a}^{b} 2pi x f(x)dx`

    Misal daerah dibatasi oleh kurva `y=f(x),y=g(x)`,`f(x)>=g(x)`, `x in [a,b], x=a` dan `x=b`diputar mengelilingi sumbu-y . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{a}^{b} 2 pi x (f(x)-g(x))dx`

    Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan `x=f(x)`,`x=0,y=c,y=d`dengan diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{c}^{d} 2 pi y f(y) dy`

    Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh `x=f(y),x=g(y)`,`f(y)>=g(y)`, `y in [c,d], y=c` dan `y=d`  diputar mengelilingi sumbu-x . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{c}^{d} 2 pi y (f(y)-g(y))dy`

 

Contoh

1. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh `y=sqrt{x}, x=4, y=0`  ; mengelilingi sumbu `x=4`

Jawab :

Jika irisan diputar terhadap garis `x=4` akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari dan tinggi tabung `sqrt{x}`

Sehingga diperoleh, 

        `DeltaV approx 2pi (4-x) sqrt{x} Delta x`

        `0<= x <=4`

        Sehingga diperoleh,

                    `V=int_{0}^{4} 2pi((4-x)sqrt{x})dx`

                    `=2pi int_{0}^{4} (4sqrt{x}-x^{3/2})dx`

                    `=2pi[8/3 x^{3/2}-2/5 x^{5/2}]_{0}^{4}= 17/15 pi`

                    `v=17/15 pi approx 3,56` satuan volume

2. Tentukavolume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh `y=x^2, y=2x` mengelilingi sumbu-y

Jawab

Mencari titik potong:

`x^2=2x<-> x^2-2x=0<->x(x-2)=0`

Jadi, titik potong adalah x=0 dan x=2

Jika irisan diputar terhadap sumbu-y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari x dan tinggi tabung `2x-x^2`

Sehingga diperoleh

        `DeltaV approx 2pi x(2x-x^2) Delta x`

        `0<= x <=2`

        Sehingga diperoleh,

                    `V=int_{0}^{2} 2pix(2x-x^2)dx`

                    `=2pi int_{0}^{2} (2x^2-x^3)dx`

                    `=2pi[2/3 x^3 - 1/4x^4]_{0}^{2}= 8/3 pi`

                    `v=8/3 pi approx 8,38` satuan volume