Integral Tentu (Bagian 2)

 

Integral Tentu (Bagian 2)

Teorema Dasar Kalkulus

Andaikan `f` kontinu pada `[a,b]` dan `F` sebarang anti turunann dari `f`, maka:

`\int_{a}^{b}f(x) dx=F(x)\int_{a}^{b}=F(b)-F(a)`

Bukti:

Andaikan P; `a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b` adalah partisi sebrang dari `[a,b]`. Menurut teorema nilai rata-rata untuk turunan yang diterapkan pada F selang `[x_{i-1},x_{i}]`, diperoleh:

`F(x)-F(x_{i-1})= F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})= f(c_{i}).\Deltax_{i}` untuk suatu `c_{i} \in (x_{i-1},x_{i})`

Sedangkan `F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})`

`=F(x_{n})-F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+F(x_{1})-F(x_{0})`

`=\sum_{i=1}^{n}[F(x)-F(x_{i-1})]`

`=\sum_{i=1}^{n}f(c_{i}).\Deltax_{i}` 

Bila kedua ruas dilimitkan untuk `n\to\infty`, maka diperoleh:

`F(b)- F(a)= \lim_{n\toinfty}\sum_{i=1}^{n}f(c_{i})\Deltax_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx`

Contoh 1.

Perlihatkan bahwa `\int_{a}^{b}Cdx= C(b-a)`, C konstanta.

Penyelesaian:

`\int_{a}^{b}Cdx=Cx\int_{a}^{b}=Cb-Ca= C(b-a)`, C konstanta.

Conoh 2.

Hitunglah `\int_{1}^{2}(2x-3x^2)dx`.

Penyelesaian:

`\int_{1}^{2}(2x-3x^2)dx`=x^2-x^3\int_{1}^{2}=(4-8)-(1-1)= -4` 

Teorema Pendiferensialan Integral Tentu

Misalkan `f` koninu pada selang `[a,b]`. Jika `` dengan perubah `x \in [a,b]` dideinisikan dengan `G(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt`. Maka fungsi `G` mempunyai turunan pada selang `[a,b]` dengan `G'(x)=f(x)` untttuk setiap `x\in[a,b]` atau

`G'(x)= \rrac{d}{dx}[\int_{a}^{x}f(t) dt]=f(x)`

Bukti:

Arti geometri dari ffungsi `G` pada deffffinisi di atas ialah bahwa unuk `f(t)\geq0` pada `[a,b]` nilai `G(x)` menyatahkan luas daerah yang dibatasi oleh grafik kontinu `y=f(t)`, garis `t=a`, garis`t=b`, dan sumbu `T`.

Misalkan `x \in [a,bb]`, sehingga `x+\Deltax \in [a,b]`. Menurut definisi fungsi turunan diperoleh:

Read More

Integral Tentu

 

Integral Tentu

Integral Tentu sebuah fungsi erat sekali hubungannua dengan anti turunan dan integral tak tentu dari sebuah fungsi. Perbedaan pokoknya adalah bahwa integral tertentu, jika ada sebuah nilai bilangan rill, sementara anti turunan dan integtal tentu mewakili sejumlah fungsi yang tak terbatas yang dibedakan hanya oleh suatu nilai konstata. 

Definisi Integral Tentu.

Perkembangan definisi Integral Tentu dimulai dengan  sebuah fungsi `f(x)`, yang kontinu pada selang tertutup `[a,b]`. Selang tersebut dibagi menajadi `"n"` subselang yang meskipun tidak harus panjangnya sama `(\Deltax)`. Sembarang nilai pada ranah, yaitu`x_{1}`, dipilih dari tiap subselang, dan nilai fungsi yang bersesuaian, yaitu `f(x_{1})`, ditentukan. Perkalian tiap nilai fungsi dengan panjang subselangnya dihitung dan sejumlah `"n"` hasil kali ini ditambahkan untuk menentukan hasil penjumlahannnya. Penjumlahan ini disebut JUMLAH RIEMANN dan bisa positif, negatif, ataupun nol., tergantung pada perilaku fungsi tersebut pada selang tertutup. Misalnya, jika `f(x)>0` pada `[a,b]`, maka jumlah riemann akan menjadi bilangan rill positif. Jika `f(x)<0` pada `[a,b]`, maka jumlah riemann akan berupa bilangan rill negatif. Jumlah riemann fungsi `f(x)` pada `[a,b]` adalah sebagai berikut. 

`S_{n}=f(x_{1})\Deltax+f(x_{2})\Deltax+f(x_{3})\Deltax+...f(x_{n})\Deltax,`

atau `S_{n}=\sum_{i=1}^{4}f(x_{i})\Deltax`.

Karena itu, jumlah riemann bisa disebut sebagai "jumlah `n` hasil kali".

Contoh:

Hitunglah jumlah riemann untuk `f(x)=x^2` pada [1,3] dengan menggunakan empat suselang yang panjangnya sama, dimana `x_{1}` adalah titik ujung kanan pada subselang ke `i`.

Karena subselang mempunyai panjang yang sama, dihasilkan

`\Deltax=\frac{b-a}{n}= \frac{3-1}[4}=\frac{1}{2}`

Jumlah riemann untuk empat subselang adalah 

`S_{4}=\sum_{i=1}^{4}f(x_{i})\Deltax`

         `=f(x_{1})\Deltax+f(x_{2})\Deltax+f(x_{3})\Deltax+f(x_{4})\Deltax`

         `=[f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+f(x_{4})]\Deltax`

         `=[f(\frac{3}{2})+f(2)+f(\frac{5}{2})+f(3)]\frac{1}{2}`

        `=[\frac{9}{4}+4+\frac{25}{4}+9]\frac{1}{2}`

        `=[\frac{86}{4}]\frac{1}{2}`

`S_{4}=\frac{43}{4}`

Jika banyaknya subselang naik berkali-kali, akibatnya panjang dari tiap subselang akan semakin mengecil. Dengan kata lain; Jika banyaknya subselang naik tanpa batas `(n\to+\infty)`, maka panjang dari tiap subselang mendekati nol `(\Deltax\to 0)`. Limit dari jumlah riemann ini, jika ada digunakan untuk menentukan integral tentu sebuah fungsi pada `[a,b]`. Jika `f(x)` dari `a` ke `b` ditetapkan sebagai berikut;

`\int_{a}^{b}dx=\lim_{n\to+\infty}S_{n}`

                   `=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Deltax`

                  `=\lim_{\Deltax\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Deltax`

Jika limitnya ada.

Fungsi `f(x)` disebut integran dan peubah `x` adalah peubah pengintegralan. Bilangan `a` dan `b` disebut batas pengintegralan dengan `a` sebagai batas bawah sementara `b` sebagai batas atas.

Perhatikan bahwa simbol `\int`, yang digunakan pada integral tertentu adalah simbol yang sama yang juga digunakan pada integral taktentu dari suatu fungsi. Harus diingat bahwa integral tentu adalah bilangan rill tunggal dan bukan sebuah bilangan tak terbatas demi fungsi yang dihasilkan dati integral taktentu sebuah fungsi.

Ciri-ciri Integral Tentu:

1. `\int_{a}^{a}f(x)dx=0`

2. `\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx`

3. `\int_{a}^{b}cdx=c(b-a)`, dimana c adalah konstanta

4. `\int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx`

5. Aturan penjumlahan: `\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx`

6. Aturan selisih: `\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx`

7. Jika `f(x)\geq0` pada `[a,b]`, maka `\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0`

8. Jika `f(x)\leq0` pada `[a,b]`, maka `\int_{a}^{b}f(x)dx\leq0`

9. Jika `f(x)\geqg(x)` pada `[a,b]`, maka `\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{c}^{b}g(x)dx`

10. Jika `a,b` dan `c` masing-masing adalah tiga titik sembarang pada selang tertutup, maka `\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}g(x)dx`

11. Teorema Nilai Tengah untuk integral tentu: jika `f(x)` kontinu pada selang tertutup `[a,b]`, maka paling tidak terdapat satu bilangan `c` pada selang terbuka `(a,b)` sehingga  `\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)`. Nilai `f(c)` disebut  nilai rata-rata atau nilai tengah dari fungsi `f(x)` pada selang `[a,b]` dan `f(x)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx`

CONTOH:

1. Hitunglah `\int_{2}^{6}3dx`

Penyelesaian: 

`\int_{2}^{6}3dx=3(6-2)=12`

2. Diketahui `\int_{0}^{3} x^2dx=9`, hitunglah `\int_{0}^{3}-4 x^2 dx`

Penyelesaian:

`\int_{0}^{3}-4 x^2 dx=-4\int_{0}^{3} x^2 dx`

                       `=(-4)9`

                       `=-36`

3. Diketahui `\int_{4}^{9}\sqrt{x}dx=\frac{38}{3}`, hitunglah `\int_{9}^{4}\sqrt{x}dx`

Penyelesaian:

`\int_{4}^{9}\sqrt{x}dx=-\int_{4}^{9}\sqrt{x}dx=\frac{38}{3}`

Read More

Notasi Sigma

Notasi Sigma

Notasi sigma adalah bentuk penulisan untuk meringkas penjumlahan suku- suku didalam suatu deret. Dimana, suku-suku tertentu mewakili pola tertentu. Dengan kata lain, tidak boleh sembarang suku dengan pola acak. Secara matematis, sigma dilambangkan sebagai `\sum` (bukan E). Lambang itu diambil dari abjad Yunani, yaitu S. Karena pada zaman itu, para ilmuan Yunani menggunakan istilah SUM untuk menjumlahkan data-data hasil penelitian mereka. Oleh sebab itu, arti sigma dalam matematika identik dengan operator penjumlahan.

Penulisan sigma

perhatikan jumlah.

`1^2+2^2+3^2+...+100^2`

dan

`a1+a2+a3+...+an`

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai

`\sum_{i=1}^{100}i^2`

dan yang kedua sebagai

`\sum_{i=1}^{n}ai`

Dengan keterangan:

`\sum`=notasi sigma

`ai`= suku ke-`i`

`i`=indeks penjumlahan

`n`= batas atas indeks untuk penjumlahan.

Untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga, 

`sum_{i=2}^{5}b_i=b_2+b_3+b_4+b_5`

`sum_{j=1}^{n}frac{1}{j}=frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac {1}{3}+...+frac{1}{n}`

`sum_{k=1}^{4}frac{k}{k^2+1}=frac{1}{1^2+1}+frac{2}{2^2+1}+frac{3}{3^2+1}+frac{4}{4^2+1}`

dan, untuk `n>=m`,

`sum_{i=m}^{n}F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)`

Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^{n}ci` mempunyai nilai sama, katakan c , maka

`sum_{i=1}^{n}ci=c+c+c+...+c=nc`

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

`sum_{i=1}^{n}ci=nc`

Khususnya,

`sum_{i=1}^{5}2=5(2)=10`

    Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

Contoh 1

`sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10`

`sum_{k=0}^{4}(2k+2)=2+4+6+8+10`

`sum_{k=2}^{6}(2k-2)=2+4+6+8+10`

 Perubahan indeks jumlah

    Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin menganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut ini diberikan satu contoh illustrasi bahwa hal ini mungkin dilakukan.

Contoh 2

Nyatakan `sum_{k=3}^{7}5^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian :

Misalkan indeks baru adalah j, maka

`j=k-3` sehingga `k=3` maka `j=0` dan jika `k=7`, maka `j=4`. Jadi j bergerak dari `j=0` sampai `j=4`. Sehingga,

`sum_{k=3}^{7}5^{k-2}=sum_{j=0}^{4}5^{(j+3)-2}=sum_{j=0}^{4}5^{j+1}`

Kita dapat mengecek `sum_{k=3}^{7}5^{k-2}` dan `sum_{j=0}^{4}5^{j+1}` adalah

`5+5^2+5^3+5^4+5^5`

 Sifat-sifat notasi sigma                    

(i) `sum_{i=1}^{n}A=n.A`
(ii) `sum_{i=1}^{n}k.u_i=k.sum_{i=1}^{n}u_i`
(iii) `sum_{i=1}^{n}(u_i+v_i)=sum_{i=1}^{n}u_i+sum_{i=1}^{n}v_i`
(iv) `sum_{i=1}^{n}(u_i-v_i)=sum_{i=1}^{n}u_i-sum_{i=1}^{n}v_i`
(v) `sum_{i=1}^{n}u_i+sum_{i=n+1}^{p}u_i=sum_{i=1}^{p}u_i`
(vi) `sum_{i=m}^{n}=sum_{i=m+p}^{n+p}u_{i-p}`

 

Contoh 3

Misalkan `sum_{i=1}^{100}a_i=60` dan `sum_{i=1}^{100}b-i=11`. 

Hitunglah `sum_{i=1}^{100}(2a_i-3b_i+4)`

Penyelesaian :

 

`sum_{i=1}^{100}(2a_i-3b_i+4)=sum_{i=1}^{100}2a_i-sum_{i=1}^{100}3b_i+sum_{i=1}^{100}4`

 

            `=2sum_{i=1}^{100}a_i-3sum{i=1}^{100}b_i+sum_{i=1}^{100}4`

 

            `=2(60)-3(11)+100(4)=487`

 

Contoh 4

Sederhanakanlah `sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})`

Penyelesaian :

 

`sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+...+(a_n-a_{n-1})`

              

                `=-a_0+a_1-a_1_a_2+...+a_{n-1}-a_{n-1}+a_n`

                

                `=-a_b+a_n+a_n-a_0`

Beberapa jumlah khusus

    Pada bagian ini, kita akan meninjau jumlah dari bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke- yang cukup manis. Deret-deret tersbut diantaranya adalah: 

 

(a) `sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=frac{n(n+1)}{2}`
(b) `sum_{k=1}^{n}k^2+1^2+2^2+3^2+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
(c) `sum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3=[frac {n(n+1)}{2}]^2`
(d) `sum_{k=1}^{n}k^4=1^4+2^4+3^4+...+n^4=frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}`

 

Contoh 5

Hitung `sum_{k=1}^{30}k(k+1)`

Penyelesaian :

 

`sum_{k=1}^{30}k(k+1)=sum_{k=1}^{30}(k^2+k)=sum_{k=1}^{30}k^2+sum_{k=1}^{30}k`

 

            `=frac{30(31)(61)}{6}+frac{30(31)}{2}=9920`

 

Catatan:

Dalam rumus

`sum_{k=1}{n}k^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

atau

`1^2+2^2+3^2+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

 

    Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

 

Contoh 6

Ekspresikan `sum_{k=1}^{n}(3+k)^2` dalam bentuk tertutup

Penyelesaian :

 

`sum_{k=1}^{n}(3+k)^2=sum_{k=1}^{n}(9+6k+k^2)`

 

        `=sum_{k=1}^{n}9+6sum_{k=1}^{n}k+sum_{k=1}^{n}k^2`

 

        `=9n+6.frac{n(n+1)}{2}+frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

 

        `=frac{1}{3}n^2+frac{7}{2}n^2+frac{73}{6}n`

 

Read More