Kode Etik Dan Profesi Keguruan

 

PENGERTIAN KODE ETIK

            Dalam KBBI, Kode Etik Guru mungkin tidak memiliki definisi eksplisit, karena KBBI biasanya fokus pada pengertian kata-kata dan frasa dalam bahasa Indonesia. Namun, jika terdapat entri terkait, mungkin akan memberikan definisi yang mengacu pada arti umum dari "kode etik" dan "guru".

            Ahli pendidikan dan profesional di bidang pendidikan akan memberikan penjelasan mendalam mengenai Kode Etik Guru berdasarkan penelitian, pengalaman lapangan, dan prinsip-prinsip pedagogis. Mereka dapat memberikan analisis mendalam tentang pentingnya Kode Etik Guru dalam membimbing perilaku dan praktik guru.

            Secara umum, Kode Etik Guru adalah seperangkat norma atau aturan perilaku yang menggambarkan standar profesional dan etika yang diharapkan dari seorang guru. Ini termasuk komitmen terhadap keadilan, integritas, penghormatan terhadap siswa, pengembangan pribadi, dan pengabdian terhadap pendidikan. Kode Etik Guru bertujuan untuk memastikan bahwa guru bekerja secara etis dan profesional untuk kepentingan terbaik siswa dan masyarakat.

FUNGSI KODE ETIK GURU

Kode Etik Guru memiliki beberapa fungsi yang penting dalam memandu perilaku dan praktik guru. Berikut adalah penjelasan lengkapnya :

1. Mengarahkan Perilaku Profesional

    Kode Etik Guru memberikan panduan jelas mengenai perilaku yang diharapkan dari seorang guru dalam melaksanakan tugas profesinya. Ini mencakup standar etika, integritas, dan tanggung jawab profesional.

2. Mendorong Integritas dan Keadilan

    Kode Etik Guru menekankan pentingnya integritas, kejujuran, dan keadilan dalam semua interaksi dengan siswa, rekan kerja, dan komunitas pendidikan.

3. Melindungi Hak dan Kepentingan Siswa

    Kode Etik Guru bertujuan untuk melindungi hak-hak dan kepentingan terbaik siswa. Ini mencakup hak untuk mendapatkan pendidikan yang berkualitas, aman, dan mendukung pertumbuhan dan perkembangan mereka.

4. Mengedepankan Profesionalisme

    Kode Etik Guru menekankan pentingnya menunjukkan tingkat profesionalisme tinggi dalam semua aspek pekerjaan guru. Ini meliputi kompetensi, pengembangan diri, dan keterlibatan aktif dalam meningkatkan praktik pendidikan.

5. Memelihara Hubungan Positif dengan Orang Tua dan Masyarakat

    Kode Etik Guru menekankan pentingnya kerja sama dan komunikasi yang efektif dengan orang tua siswa dan komunitas sekolah. Hal ini menciptakan lingkungan pendidikan yang kolaboratif dan mendukung.

6. Menghindari Konflik Kepentingan

    Kode Etik Guru meminta guru untuk menghindari situasi di mana kepentingan pribadi mereka dapat mempengaruhi objektivitas dan kepentingan terbaik siswa.

7. Menjamin Keselamatan dan Kesejahteraan Siswa

    Kode Etik Guru memastikan bahwa guru bertanggung jawab atas keamanan dan kesejahteraan fisik, emosional, dan mental siswa. Guru diharapkan untuk menciptakan lingkungan belajar yang aman dan mendukung.

8. Menjaga Privasi dan Kerahasiaan Informasi

    Kode Etik Guru mengamanatkan guru untuk menjaga privasi dan kerahasiaan informasi siswa serta keluarganya, kecuali dalam kasus yang memerlukan pelaporan atau kewajiban hukum.

9. Mendorong Pertumbuhan Pribadi dan Profesional

    Kode Etik Guru mendorong guru untuk terus meningkatkan kompetensi dan pengetahuan mereka, serta berpartisipasi dalam pelatihan dan pengembangan profesional.

10. Memberikan Pedoman dalam Mengatasi Situasi Etis

      Kode Etik Guru memberikan kerangka kerja untuk memecahkan masalah atau situasi yang melibatkan pertimbangan etis, membantu guru untuk membuat keputusan yang benar dan mempertahankan standar integritas.

TUJUAN KODE ETIK GURU

Tujuan dari adanya kode etik guru adalah untuk mengedepankan Standar Etika dan Profesionalisme. Dimana kode etik guru menjadi aturan untuk memastikan bahwa guru bertindak dengan integritas tinggi, adil, dan mematuhi standar moral dalam melaksanakan tugas pendidikan mereka.

PENETAPAN KODE ETIK GURU

Penetapan Kode Etik Guru adalah proses formal di mana lembaga pendidikan atau otoritas pendidikan yang bersangkutan menetapkan seperangkat pedoman atau aturan perilaku yang mengatur tindakan dan sikap para guru dalam melaksanakan tugas profesinya. Proses ini biasanya melibatkan berbagai pihak, termasuk organisasi guru, ahli pendidikan, pemerintah, dan mungkin juga melibatkan masukan dari orang tua siswa atau masyarakat.

Pihak-pihak yang berhak menetapkan Kode Etik Guru dan alasannya:

1. Lembaga Pendidikan (seperti sekolah, lembaga pendidikan tinggi)

    Lembaga pendidikan memiliki tanggung jawab untuk membentuk dan mengimplementasikan Kode Etik Guru untuk memastikan bahwa guru yang bekerja di institusi mereka bertindak sesuai dengan standar etika dan profesionalisme yang diinginkan.

2. Otoritas Pendidikan di Tingkat Daerah atau Nasional

    Otoritas pendidikan memiliki kewenangan untuk menetapkan pedoman dan regulasi pendidikan, termasuk Kode Etik Guru. Mereka bertanggung jawab untuk memastikan bahwa praktik pendidikan di wilayah mereka sesuai dengan standar etika yang tinggi.

3. Organisasi Profesi Guru

    Organisasi profesi guru adalah entitas yang mewakili dan memajukan kepentingan guru. Mereka seringkali berperan dalam menyusun dan merevisi Kode Etik Guru, serta memastikan bahwa standar etika dan profesionalisme dijaga dalam profesi guru.

4. Komite atau Kelompok Kerja yang Ditunjuk oleh Lembaga Pendidikan atau Otoritas Pendidikan

    Kelompok kerja atau komite ini dapat ditunjuk untuk menyusun, merevisi, atau menilai Kode Etik Guru. Mereka membantu dalam memastikan bahwa Kode Etik Guru mencerminkan nilai-nilai dan standar etika yang relevan dengan konteks pendidikan saat ini.

RUMUSAN KODE ETTIK GURU

Rumusan Kode Etik Guru Indonesia adalah seperangkat prinsip, norma, dan aturan perilaku yang diharapkan dari seorang guru dalam melaksanakan tugasnya. Berikut adalah rumusan Kode Etik Guru Indonesia yang dikeluarkan oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia:

"Kode Etik Guru adalah panduan perilaku yang mengedepankan integritas, etika, dan profesionalisme dalam pendidikan. Berikut adalah poin-poin utama yang harus dijunjung tinggi oleh setiap guru:

1. Mengembangkan Watak, Kepribadian, dan Profesionalisme Guru

    Guru berkewajiban untuk mengembangkan diri secara terus-menerus dan meningkatkan kompetensi profesionalnya.

2. Memberikan Pengajaran dan Bimbingan

   Guru berkewajiban memberikan pengajaran dan bimbingan secara jujur, adil, dan bertanggung jawab.

3. Menjaga Martabat dan Kehormatan Guru

   Guru harus menjaga martabat dan kehormatan profesinya serta tidak melakukan tindakan yang dapat merugikan citra guru.

4. Menghormati Hak dan Kewajiban Siswa

   Guru harus menghormati hak dan kewajiban siswa serta memperlakukan mereka dengan adil tanpa diskriminasi.

5. Bekerja sama dengan Orang Tua atau Wali Siswa dan Masyarakat

   Guru harus bekerja sama dengan orang tua atau wali siswa serta masyarakat untuk mendukung pendidikan dan perkembangan siswa.

6. Menghormati dan Meningkatkan Marwah Profesi Guru

   Guru harus menghormati marwah dan meningkatkan citra profesi guru.

7. Menghindari Konflik Kepentingan

   Guru harus menghindari konflik kepentingan yang dapat mempengaruhi objektivitas dan kepentingan terbaik siswa.

8. Menjaga Keamanan dan Keselamatan Siswa

   Guru harus bertanggung jawab atas keamanan dan keselamatan fisik, emosional, dan mental siswa selama mereka berada di lingkungan sekolah.

9. Melaksanakan Evaluasi dan Pelaporan

   Guru harus melaksanakan evaluasi dan pelaporan kinerja siswa secara jujur dan adil.

10. Menjaga Privasi dan Kerahasiaan Informasi

    Guru harus menjaga privasi informasi siswa dan keluarganya, kecuali dalam kasus yang memerlukan pelaporan atau kewajiban hukum.

Nilai-nilai Dasar dan Nilai-nilai Operasional kode etik

Nilai-nilai dasar:

Kode Etik Guru Indonesia bersumber dari:

1. Nilai-nilai agama dan Pancasila.

2. Nilai-nilai kompetensi pedagogik, kompetensi kepribadian, kompetensi sosial, dan kompetensi profesional.

3. Nilai-nilai jatidiri, harkat, dan martabat manusia yang meliputi perkembangan kesehatan jasmaniah. emosional, intelektual, sosial, dan spiritual.

Nilai-nilai opresesional:

1. Hubungan guru dengan peserta didik

2. Hubungan guru dengan orang tua/ wali murid

3. Hubungan guru dengan masyarakat

4. Hubungan guru dengan sekolah / rekan sejawat

5. Hubungan guru dengan profesi

6. Hubungan guru dengan organisasi profesinya

7. Hubungan guru dengan pemerintah

CONTOH KASUS PELANGGARAN KODE ETIK GURU BESERTA SANKSINYA

Berikut adalah beberapa contoh pelanggaran Kode Etik Guru beserta contoh nyatanya yang pernah terjadi di Indonesia dan sanksi yang diterapkan:

1. Penggunaan Kekerasan atau Penyiksaan Terhadap Siswa:

   - Contoh: Seorang guru menggunakan kekerasan fisik terhadap siswa sebagai bentuk hukuman.

   - Contoh Nyata: Seorang guru di suatu sekolah di Indonesia pernah terbukti memukul siswanya tanpa alasan yang jelas.

   - Sanksi: Guru tersebut dihentikan sementara dari tugas mengajar, dan proses penyelidikan oleh lembaga pendidikan setempat dilakukan. Jika terbukti bersalah, guru tersebut dapat diberhentikan secara permanen.

2. Diskriminasi atau Perlakuan Tidak Adil Terhadap Siswa:

   - Contoh:Mengabaikan atau memperlakukan siswa dengan perlakuan tidak adil berdasarkan aspek seperti agama, etnis, atau gender.

   - Contoh Nyata:  Seorang guru membedakan perlakuan antara siswa berdasarkan agama atau etnis mereka dalam memberikan tugas atau penilaian.

   - Sanksi: Guru tersebut dapat diberi peringatan tertulis atau dihentikan dari tugas mengajar sementara. Jika pelanggaran berulang atau serius, dapat mengakibatkan pemecatan.

3. Pelanggaran Terhadap Privasi dan Kerahasiaan Informasi Siswa:

   - Contoh: Mengungkapkan informasi pribadi siswa tanpa izin atau kebutuhan yang jelas.

   - Contoh Nyata: Seorang guru memberikan informasi pribadi siswa kepada orang lain tanpa izin dari siswa atau orang tua.

   - Sanksi: Guru tersebut dapat dikenakan sanksi administratif, seperti penundaan kenaikan pangkat atau pengurangan gaji.

4. Penggunaan Bahasa atau Tindakan Tidak Etis:

   - Contoh Menggunakan bahasa atau tindakan yang kasar, menghina, atau tidak pantas terhadap siswa atau kolega.

   - Contoh Nyata: Seorang guru memaki siswanya di depan kelas karena performa akademiknya yang kurang memuaskan.

   - Sanksi: Guru tersebut dapat diberikan peringatan atau sanksi disipliner, tergantung pada tingkat keparahan pelanggaran.

5. Penyalahgunaan Kekuasaan atau Wewenang:

   - Contoh: Memanfaatkan posisi guru untuk kepentingan pribadi atau melakukan tindakan yang tidak sesuai dengan tugas pendidikan.

   - Contoh Nyata: Seorang guru meminta uang atau barang dari siswa sebagai syarat untuk memberikan nilai yang baik.

   - Sanksi: Guru tersebut dapat dihentikan sementara atau secara permanen dari tugas mengajar. Selain itu, bisa ada tindakan hukum sesuai dengan peraturan yang berlaku.

Jika Anda mengetahui bahwa seorang rekan guru melanggar Kode Etik Guru, berikut adalah langkah-langkah yang perlu dilakukan:

1. Mengumpulkan Informasi dengan Teliti

    Pastikan Anda memiliki informasi yang akurat dan jelas tentang pelanggaran yang dilakukan oleh rekan guru.

2. Jaga Kerahasiaan Informasi

    Jika diperlukan, pastikan untuk menjaga kerahasiaan informasi, terutama jika hal ini melibatkan privasi siswa atau orang lain.

3. Membuat Keputusan Etis

    Pertimbangkan apakah Anda harus melaporkan masalah ini atau jika ada langkah lain yang dapat diambil sebelumnya, seperti berbicara langsung dengan rekan Anda.

4. Bicarakan dengan Rekan Guru (Opsional)

    Jika memungkinkan dan situasinya memungkinkan, Anda dapat mencoba berbicara secara pribadi dengan rekan Anda tentang pelanggaran yang Anda lihat. Bersikaplah sopan dan hormati selama percakapan ini.

5. Laporkan ke Pihak yang Berwenang

    Jika rekan Anda tetap melanggar Kode Etik Guru atau jika situasi tidak dapat diselesaikan melalui percakapan pribadi, Anda perlu melaporkannya kepada pihak yang berwenang di lembaga atau sekolah Anda, seperti kepala sekolah atau koordinator pendidikan.

6. Sediakan Informasi yang Diperlukan

    Sediakan informasi yang relevan dan jelas tentang pelanggaran yang Anda laporkan. Berikan waktu, tempat, orang yang terlibat, dan deskripsi singkat dari kejadian tersebut.

7. Berkolaborasi dengan Pihak Terkait

    Jika diperlukan, bersiaplah untuk berkolaborasi dengan pihak terkait seperti staf administrasi sekolah atau dewan pendidikan.

8. Ikuti Prosedur Internal

    Ikuti prosedur yang ditetapkan oleh lembaga atau sekolah Anda dalam menangani laporan pelanggaran. Ini mungkin termasuk penyelidikan internal dan pertemuan dengan pihak terkait.

9. Pantau dan Awasi Proses Penanganan

    Pantau perkembangan laporan Anda dan pastikan bahwa tindakan yang sesuai diambil jika pelanggaran terbukti.

10. Tawarkan Dukungan kepada Korban (Jika Ada)

    Jika pelanggaran berdampak pada siswa atau pihak lain, tawarkan dukungan dan konseling jika diperlukan.

11. Simpan Catatan dan Komunikasi

    Simpan catatan dari setiap komunikasi atau tindakan yang terkait dengan laporan Anda sebagai dokumentasi di masa mendatang.

12. Lindungi Diri Sendiri (Jika Diperlukan)

    Jika Anda khawatir tentang kemungkinan reaksi negatif atau retaliasi, pertimbangkan untuk melaporkan secara anonim atau melibatkan pihak eksternal seperti dewan pendidikan.

Melaporkan pelanggaran Kode Etik Guru adalah langkah penting dalam memastikan bahwa standar etika dan profesionalisme dalam pendidikan dijaga dan bahwa kepentingan terbaik siswa dilindungi.

Read More

Ruang Lingkup profesi keguruan

 

Sebelum membahas tentang ruang lingkup profesi keguruan, ada baiknya kita mengetahui terlebih dahulu  apasih pengertian  dan peranan profesi keguruan itu. 

Jadi apasih profesi keguruan itu?

    Profesi berasal dari bahasa latin, yaitu "proffesio" yang mempunyai dua pengertian yaitu janji atau ikrar serta pekerjaan. Profesi sendiri merupakan suatu pekerjaan atau jabatan tertentu yang mensyaratkan pengetahuan serta keterampilan khusus yang diperoleh oleh pendidikan akademis yang intesif atau singkatnya profesi adalah suatu pekerjaan atau jabatan yang menuntut keahlian tertentu. Sedangkan, Keguruan adalah istilah yang merujuk pada bidang atau konsep yang terkait dengan pendidikan, pengajaran, dan profesi guru. jadi dapat disimpulkan bahwa profesi keguruan adalah pekerjaan yang meliibatkan pekerjaan, pendidikan, dan membimbing siswa atau mahasiswa di berbagai tingkatan, seperti prasekolah, sekolah dasar, menengah, atau perguruan tinggi.

Lalu apa saja sih peranan Profesi keguruan ini? Mengapa kita harus mempelajarinya sih terutama di jurusan pendidikan?

    Jadi peranan profesi keguruan yang utama adalah memperkenalkan karakteristik profesi guru kepada para calon guru ataupun para guru yang sedang mengikutti pendidikan lanjut. Nah materi terkait profesi keguruan ini merupakan sebuah gambaran umum dari berbagai hal wajib yang calon pendidik perlu ketahui (wawasan yang memadai dan bersikap positif terhadap profesi guru), serta menjadi pendorong utama bagi para guru untuk menjalankan tugasnya sebagai guru profesional.

     Ruang lingkup profesi keguruan diantaranya adalah layanan guru dalam melaksanakan profesinya yaitu:

1. layanan adminitrasi pendidikan

    layanan adminitrasi pendidikan merunjuk pada berbagai kegiatan dan proses admintrasi yang  berkaitan dengan pengelolahan dan operasional institusi pendidikan, dengan tujuan mendukung kelancaran dan efisiensi berfungsinya instituasi pendidikan. beberapa contoh layanan adminitrrasi pendidikan yaitu; pendaftaran dan penerimaan siswa, pengelolahan data siswa, penjadwalan, manajemen guru, pengelolahan sarana dan prasarana, pengelolahan keuangan, pengelolahan perpustakaan, pengelolahann arsip, komunikasi sekolah, pengelolaan kehadiran dan evaluasi.

2. layanan instruksional

    layanan instruksional adalah berbagai bentuk dukungan, startegi, dan kegiatan yang dirancang untuk meningkatkan kualitas pengajaran dan pembelajaran dalam konteks pendidikan. Tujuannya untuk menciptakan pengalaman pembelajaran yang efektif , beragam, dan relevan bagi siswa untuk mencapai pencapaian akademik yang optimal. Beberapa contohnya yaitu; pengembbangana materi pembelajaran, pengembangan kurikulum, pelatihan guru, penggunaan teknologi pembelajaran, pengembangan materi ajar digital, kegiatan pembelajaran kolaboratif, penilaian formatif, bahan bacaan dan sumber daya, konseling akademik, remediasi dan penguatan, kelas daring ( onliine), pembelajaran berbasis proyek, serta pembelajaran berbasis permainan.

3. layanan bantuan  

    layaman bantuan mencakup berbagai jenis dukungan dan bimbingan yang diberikan guru atau pendidik untuk membantu mereka dalam menghadapi tantangan dalam pengajaran dan pengembangan profesional. Adapun beberapa contohnya yaitu; mentoring, pengembangan profesional, kolaborasi antar guru, pembimbingan akademik, evaluasi kolaboratif, dukungan teknologi pendidikan, konseling profesional, pengembangan rencana pembelajaran, bantuan dalam pengelolaan kelas, pemantauan kemajuan guru, bantua dalam penanganan siswa khusus, dan bantuan pengembangan karier.

    Ruang lingkup profesi keguruan juga mencakup kompetensi kepribadian guru yang berisi tentang hubungan kemampuan pribadi dan segala karakteristik yang mendukung terhadap pelaksanaan tujuan guru. Beberapa kompetensi kepribadian guru antara lain sebagai berikut:

1. Beriman dan bertakwa kepada Tuhan yang Maha Esa

2. Percaya kepada diri sendiri

3. Tenggang rasa dan toleran

4. Bersikap terbuka dan demokratis

5. Sabar dalam menjalani profesi keguruan

6. Mengembangkan diri bagi kemajuan profesinya.

7. Memahami tujuan pendiidkan

8. Mampu menjalani hubungan insani

9. Memahami kelebihan dan kekurangan diri

10. Kreatif dan inovatif dalam berkarya

Setelah membaca semuanya, ternyata jadi guru memiliki tanggung jawab dan pekerjaan yang sangat banyak yah. Guru dituntut harus mampu kesulitan- kesulitan yang dihadapi siswanya dalam proses belajar mengajar karena itu merupakan tugas utama seorang pendidik yang harus bisa mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi para peserta didiknya. apalagi guru diharapkan bisa membimbing dan memberikan edukasi kepada peserta didiknya sesuai dengan kemampuan akademik yang dimilikinya agar tujuan dari  mencerdaskan kehidupan bangsa dapat terlaksana dengan baik dan sesuai dengan yang diharapkan.

Nah setelah membaca ini HARUS nya kalian jadi lebih sadar yah tentang seberapa berjasanya seorang guru itu, seorang pahlawan tanpa tanda jasa yang sering kali disepelehkan pekerjaannya. Sebagai calon pendidik di masa depan, saya merasa kecewa dan miris karena pekerjaan mulia ini masih dinilai sekecil itu untuk pekerjaan yang seberat ini. Pasti paham lah yah maksudnya.

KALIAN SIAP MENJADI PAHLAWAN TANPA TANDA JASA SELANJUTNYA???

Read More

Integral- Tak Wajar

INTEGRAL TAK WAJAR

    Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema :

Misal `f(x)` adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan pada I, maka

`int_{a}^{b} f(x) dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)`

 

Contoh :

1. `int_{2}^{4}(1-x) dx=[x- {1}/{2} x^2]_{2}^{4}`

                    `=(4- {1}/{2}.16)-(2-{1}/{2}.4)`

                    `=-4-0`

                    `=-4`

 

2. `int_{1}^{2} {dx}/{1+x}=[ln |1+x|]_{1}^{2}`

                    `=ln (1+2)-ln(1+1)`

                    `=ln 3-ln 2`

 

3. `int_{1}^{2} dx/{sqrt{1-x}`, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas        karena integran `f(x)={1}/{sqrt 1-x}` tidak terdefinisi pada `x=1`

 

4. `int_{-1}^{1} dx/x` , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran `f(x)=1/x` tidak terdefinisi di `x=0`

        Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar. 

Bentuk `int_{a}^{b} f(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika :

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)` tidak berlaku lagi.

Contoh :

1. `int_{0}^{4} dx/{4-x}`, `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x=4` atau `f(x)` kontinu di [0,4]

2. `int_{1}^{2} dx/sqrt{x-1}`, `f(x)` tidak kontinu di batass bawah `x=1` atau `f(x)` kontinu di [1,2]

3. `int_{0}^{4} dx/ (2-x)^{2/3}`, `f(x)` tidak kontinu di `x=2 in [0,4]` atau `f(x)` kontinu di `[0,2) cup (2,4]`

 

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1) `int_{0}^{infty} dx/ x^2+4`, integran `f(x)` memuat batas di `x=infty`

2) `int_{-infty}^{0} e^{2x} dx`, integran `f(x)` memuat batas bawah di `x=-infty`

3) `int_{-infty}^{infty} dx/ 1+4x^2`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=infty` dan batas bawah di `x=-infty`

    Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( `infty` ). 

     Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

 

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. `f(x)` kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di `x=b`

    Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = b-varepsilon` `(varepsilon -> 0^{+})` , sehingga

`int_{a}^{b} f(x) dx= lim_{varepsilon->0^{+}} int_{a}^{b-c} f(x) dx`

Karena batas atas `x=b-varepsilon (x-> b^{-})`, maka

`int_{a}^{b} f(x)dx=lim_{t->b^{-}} int_{a}^{t} f(x)dx`

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. `int_{0}^{4} dx/sqrt{4-x}=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{0}^{4-varepsilon} dx/ sqrt {4-x}` f(x) tidak kontinu di batas atas `x=4` sehingga

            `=[lim_{varepsilon->0^{+}} -2sqrt{4-x}]_{0}^{4-varepsilon}`

            `= -2 lim_{varepsilon-> 0^{+}} [ sqrt{4-(4-varepsilon)}-sqrt{(4-0)}]`

            `=-2 (lim_{varepsilon->0^{+}} sqrt{varepsilon}-sqrt{4})`

            `=-2(0-2)`

            `=4`

Cara lain

`int_{0}^{4} dx/sqrt{4-x}= lim_{t->4^{-}} int_{0}^{t} dx/ sqrt{4-x}`

                `=lim_{t->4^{-}}[-2 sqrt{4-x}]_0^{t}`

                `= lim_{t->4^{-}} [ -2 sqrt {4-t} + 2 sqrt {4-0}]`

                `=-2(0)+2(2)`

                `=4`

b. `f(x)` kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x=a

    Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x = a +varepsilon(varepsilon-> 0^{+}`, sehingga 

`int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{a+varepsilon}^{b} f(x)dx`

Karena batas bawah `x=a_varepsilon(x->a^{-})` maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

`int_{a}^{b} f(x)dx=lim_t-> a^{+} int_{t}^{b} f(x)dx`

 

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1. `int_{3}^{4}={3dx}/sqrt{x-3}=lim_{t->3^{+}} int_t^{4} {3dx}/sqrt{x-3}`

                `=lim_{t->3^{+}}[3(2)sqrt{x-3}]_t^{4}`

                `=lim_{t->3^{+}}[6sqrt{4-3}-6 sqrt{t-3}]`

                `=6(1)-6(0)`

                `=6`

c. `f(x)` kontinu di [a,c) cup (c,b] dan tidak kontinu di `x=c`

    Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x = c +varepsilon` dan `x = c - varepsilon (varepsilon->0^{+})`, sehingga 

`lim_{a}^{b}f(x)dx=lim_{a}^{c} f(x)dx+ int-{c}^{b} f(x) dx`

`=lim_{varepsilon->0^{+}}int_{a}^{c-varepsilon} f(x)dx+lim_{varepsilon->0^{+}} int_{c-varepsilon}^{b} f(x)`

Dapat juga dinyatakan dengan

`int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{t->b^{-}} int_{a}^{t}f(x)dx+lim_{t->a^{+}} int_t^b f(x)`

 

Perhatikan beberapa contoh dbawah ini.

1. `int_{-1}^{8} x^{-1/3}dx`, `f(x)` tidak kontinu di x=0, sehingga diperoleh

        `int_{-1}^{0}x^{-1/3} dx +int_{0}^{8}x^{-1/3} dx`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}} int_{-1}^{0-varepsilon} x^{-1/3}dx+lim_{0->varepsilon^{+}} int_{0+varepsilon}^{8} x^{-1/3} dx`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}}[3/2 x^{2/3}]_{-1}^{0-varepsilon} + lim_{varepsilon->0^{+}}[3/2 x^{2/3}]_{0+varepsilon}^{8}`

            `=-3/2+6`

            `=-9/2`

 

2. `int_{-1}^{1} dx/x^4`, `f(x)` diskontinu di `x=0`, sehingga diperoleh:

`int_{-1}^{1} dx/ x^4=int_{-1}^{0} dx/x^4 + int_{0}^{1} dx/x^4`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}}int_{-1}^{0-varepsilon} dx/x^4+lim_{varepsilon->0^{+}}int_{0+varepsilon}^{1}dx/x^4`

            `=lim_{varepsilon->0^{+}} [-1/{3x^3}]_{-1}^{0-varepsilon}+lim_{varepsilon->0^{+}} [-1/{3x^3}]_{0+varepsilon}^{8}`

            `=`tidak berarti karena memuat bentuk `1/0`

 

Integral tak wajar dengan batas tak hingga

    Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Integral tak wajar dengan batas atas `x=infty`.

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

`int_{a}^{infty} f(x) dx= lim_{t-> infty} int_{a}^{t} f(x)dx` 

Perhatikan contoh berikut ini

1. `int_{0}^{infty} dx/{x^2+1}= lim_{t->infty} int_{0}^{t} dx/{x^2+4}`

                `=lim_{t->infty} [1/2 arctan x/2]_{0}^{t}`

                `=lim_{t-> infty} [1/2 arctan t/2- 1/2 arctan 0]`

                `=(1/2. pi/2 - 1/2 . 0)`

                `=pi/4`

 

2. `int_{1}^{infty} dx/x^2 = lim_{t-> infty} int_{1}^{t} dx/x^2`

                `=lim_{t->infty}[-1/x]_{1}^{t}`

                `=lim_{t->infty}[-1/t + 1]_{1}^{t}`

                `=1`

 

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di `x=-infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

`int_{-infty}^{a}f(x) dx= lim_{t-> -infty} int_{t}^{a} f(x)dx` 

 

Perhatikan contoh berikut ini:

1. `int_{-infty}^{0} e^{2x} dx= lim_{t-> -infty} [1/2 e^{2x}]_{t}^{0}`

                    `=lim_{t->-infty} [1/2 . 1 - 1/2 e^{2t}]`

                    `=1/2-0`

                    `=1/2`

 

2. `int_{-infty}^{0} dx/{(4-x)^2}=lim_{t->infty} [1/{(4-x)}]_{t}^{0}`

                    `=lim_{t->-infty} [1/{(4-t)} + 1/{(4-0)}]`

                    `=0+1/4`

               `=1/4`

 

c. Integral tak wajar batas atas `x=infty` dan batas bawah di `x=-infty`

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan `int_{-infty}^{infty} f(x)x= int_{-infty}^{a} f(x)dx+int_{a}^{infty}f(x)dx` , sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk: 

`int_{-infty}^{infty} f(x)x=int_{-infty}^{a} f(x)dx+int_{a}^{infty} f(x)dx`

`=lim_{t->-infty} int_{t}^{a} f(x)dx + lim_{t->infty} int_{a}^{t} f(x)dx`

 

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:

1. `int_{-infty}^{infty} dx/{1+4x^2} = int_{-infty}^{0} dx/{1+4x^2} + int_{0}^{infty} dx/{1+4x^2}`

                `=lim_{t->infty} [arctan 4x]_{t}^{0} + lim_{t-> infty} [arctan 4x]_{0}^{t}`

                `=pi/2`

 

2. `int_{-infty}^{infty} {e^x dx}/{e^{2x} + 1} = int_{-infty}^{0} {e^x dx}/ {e^{2x} +1} + int_{0}^{infty} {e^x dx}/{e^{2x} +1}`

                `=lim_{t->-infty} int_[t}^{0} {e^x dx}/{e^{2x}+1} + lim_{t-> infty} int_{0}^{t} {e^x dx}/{e^{2x}+1}`

                `=lim_{t->-infty} (arc tgn e^x)_{t}^{0} + lim_{t->infty} (arc tgn e^x)_{0}^{t}`

                `=pi/2-pi/4+pi/4-0`

                `=pi/2`

 

Read More

Volume Benda Putar (Part 2)

 

Volume Benda Putar (Part 2)

3. Metode Kulit Silinder

    Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

  Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut `r_1` dan `r_2` , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :  

`DeltaV=(pi r_2+pi r_1)h=2pi r Delta r`

dengan : `{r_2+r_1}/{2}=r` (rata-rata, jari-jari); `r_2+r_1=Delta r`.

    Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x),y=0`,`x=a,x=b` diputar mengelilingi sumbu-y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari `r=x` dan `Delta r= Delta x` dan tinggi tabung `h=f(x)`. Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

`V=int_{a}^{b} 2pi x f(x)dx`

    Misal daerah dibatasi oleh kurva `y=f(x),y=g(x)`,`f(x)>=g(x)`, `x in [a,b], x=a` dan `x=b`diputar mengelilingi sumbu-y . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{a}^{b} 2 pi x (f(x)-g(x))dx`

    Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan `x=f(x)`,`x=0,y=c,y=d`dengan diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{c}^{d} 2 pi y f(y) dy`

    Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh `x=f(y),x=g(y)`,`f(y)>=g(y)`, `y in [c,d], y=c` dan `y=d`  diputar mengelilingi sumbu-x . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=int_{c}^{d} 2 pi y (f(y)-g(y))dy`

 

Contoh

1. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh `y=sqrt{x}, x=4, y=0`  ; mengelilingi sumbu `x=4`

Jawab :

Jika irisan diputar terhadap garis `x=4` akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari dan tinggi tabung `sqrt{x}`

Sehingga diperoleh, 

        `DeltaV approx 2pi (4-x) sqrt{x} Delta x`

        `0<= x <=4`

        Sehingga diperoleh,

                    `V=int_{0}^{4} 2pi((4-x)sqrt{x})dx`

                    `=2pi int_{0}^{4} (4sqrt{x}-x^{3/2})dx`

                    `=2pi[8/3 x^{3/2}-2/5 x^{5/2}]_{0}^{4}= 17/15 pi`

                    `v=17/15 pi approx 3,56` satuan volume

2. Tentukavolume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh `y=x^2, y=2x` mengelilingi sumbu-y

Jawab

Mencari titik potong:

`x^2=2x<-> x^2-2x=0<->x(x-2)=0`

Jadi, titik potong adalah x=0 dan x=2

Jika irisan diputar terhadap sumbu-y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari x dan tinggi tabung `2x-x^2`

Sehingga diperoleh

        `DeltaV approx 2pi x(2x-x^2) Delta x`

        `0<= x <=2`

        Sehingga diperoleh,

                    `V=int_{0}^{2} 2pix(2x-x^2)dx`

                    `=2pi int_{0}^{2} (2x^2-x^3)dx`

                    `=2pi[2/3 x^3 - 1/4x^4]_{0}^{2}= 8/3 pi`

                    `v=8/3 pi approx 8,38` satuan volume

 

Read More

Volume Benda Putar

 

VOLUME BENDA PUTAR

Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh `h` dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas `A` dikalikan tinggi `h`, yakni

 

`V=A.h`

Gambar  1

Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada x adalah `A(x)` dengan `a<=x<=b` (Gambar 2). Kita partisikan interval [a,b] dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b` . Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu-x , sehingga mengiris benda menjadi lempengan-lempengan tipis (Gambar 3). Volume `DeltaV`suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni

`DeltaV_i=A(barx_i)Deltax_i`

 

 

(Ingat bahwa `barx_i`, disebut titik sampel adalah sebarang bilangan dalam interval {`x_{i-1},x_i`]).

Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

 

`V approx sum_{i=1}^{n}A(barx_i)Delta x_i`

 

    Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

 

`V= int_{a}^{b}A(x)dx`

 

a. Pemutaran mengelilingi sumbu x

    Misal adalah luasan yang dibatasi oleh `y=f(x),x=a,x=b` . Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu- x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu-x membentuk bangun berupa benda padat (pejal), yang dapat diiris menjadika lempengan-lempengan. Volume `Deltax` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni

 

`DeltaV_i=A(barx_i)Deltax_i`

    Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

`V approx sum_{i=1}^{n}A(barx_i)Deltax_i`

    Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

`V=int_{a}^{b}A(x)dx`
`V=int_{a}^{b} pi(y^2)dx=pi int_{a}^{b} y^2 dx`

 

    Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu `y_1=f(x),y_2=g(x),x=a,x=b`.  Dengan `y_1>=y_2` Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x , maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V=pi int_{a}^{b}(y_1^2 - y_2^2) dx`

 

b. Pemutaran mengelilingi sumbu y

    Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh `x=f(y),y=c,y=d` . Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-y . Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu:

`V=pi int_{c}^{d} x^2 dy`

    Jika dibatasi oleh dua kurva, yaitu `x_1=f(y),x_2=g(y),y=c,y=d`. Dengan `x_1>=x_2` . Selanjutnya R  diputar mengelilingi sumbu- y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V=pi int_{c}^{d}(x_1^2 - x_2^2) dy`

 

    Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasil kali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Bila luas alas dinyatakan dengan `A(x)` dan tinggi benda putar adalah panjang selang [a,b] , maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut:

`V=int_{a}^{b}A(x) dx`

    Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

 

1. Metode Cakram

    Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x),y=0,x=1` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-x . Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

    Misal pusat cakram (x_0,0) dan jari-jari `r=f(x_0). Maka luas cakram dinyatakan :

`A(x_0)=pi(f(x_0))^2=pi f^2 (x_0)`

Oleh karena itu, volume benda putar : 

`V=int_{a}^{b} pi (f(x))^2dx=pi int_{a}^{b} (f(x))^2 dx`

    Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu- y? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y),x=0,y=c,y=d` diputar mengelilingi sumbu- y, maka volume benda putar : 

`V=int_{a}^{b} pi (g(y))^2dx=pi int_{a}^{b} (g(y))^2 dy`

    Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)>=0`, `y=g(x)>=0,f(x)>=g(x)`untuk setiap `x in [a,b], x=a` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-x , maka volume :

`V=int_{c}^{d} pi ((f(x))^2-(g(x))^2) dx`

    Bila daerah yang dibatasi oleh `x=f(y)>=0,x=g(y)>=0,f(y)>=g(y)` untuk setiap `y in [c,d],x=c` dan `x=d` diputar terhadap sumbu-y , maka volume : 

`V=int_{a}^{b} pi ((f(y))^2-(g(y))^2) dy`

 

Contoh

Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :

`y=2-x^2, y=-x` dan sumbu-y bila diputar mengelilingi garis `y=-2` 

Jawab

Kedua kurva berpotongan di (-1,1) dan )-2,2). Pada selang [-1,2] berlaku `2-x^2>=-x`. 

Jarak kurva `y=2-x^2, y=-x` terhadap sumbu putar (garis `y=-2`) dapat dpandang sebagai jari jari dari cakram, sehingga diperoleh `(2-x^2)-(-2)=4-x^2` dan `-x-(-2)=2-x`. Maka berturut turut adalah `(4-x^2)` dan (2-x)`.

`DeltaV approx pi[(4-x^2)^2-(2-x)^2]Deltax= pi{x^4-9x^2+4x+12)Deltax`

`-1<=x<=2`

Sehingga diperoleh,

        `V= int_{-1}^{2} pi (x^4-9x^2+4x+12)dx`

                `=pi int_{-1}^{2} (x^4-9x^2+4x+12)dx`

                `=pi[x^5/5 - 3x^3+2x^2+12x]_{-1}^{2} = 108/5 pi`

        `V=108/5 pi approx 67,86` satuan volume

 

2. Metode Cincin

    Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut

 

    Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan tmerupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut

`V=pi(R^2-r^2)t`

    Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

 

    Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah

`V=pi int_{a}^{b}[(R(x))^2-(r(x))^2]dx`

 

Contoh

1. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh grafik dari `y=x^2`, sumbu-x dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1

Jawab

Jika irisan diputar terhadap garis `y=-1` akan diperoleh suatu cincin dengan jari jari dalam 1 dan jari jari luar `1+x^2`

            `DeltaV approx pi [(1+x^2)^2-1^2] Delta x = pi (x^4+2x^2) Deltax`

            `0<=x<=2`

            Sehingga diperoleh,

            `V=int_{0}^{2}pi(x^4+2x^2)dx`

                    `=pi int_[0}^{2} (x^4+2x^2)dx`

                    `=pi[x^5/5+2/3x^3]_{0}^{2} = 176/15 pi`

            `V= 176/15pi approx 36,86` satuan volume

2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva kurva:

`y=2-x^2, y=-x` dan sumbu-y bila diputar mengelilingi garis `y=-2`

Jawab

Kedua kurva berpotongan di (-1,1) dan (-2,2). Pada selamg [-1,2] berlaku `2-x^2>=-x`.

Jarak kurva `y=2-x^2, y=-x` terhadap sumbu putar (garis `y=-2`) dapat dipandang sebagai jari jari cakram, sehingga diperoleh `(2-x^2)-(-2)=4-x^2` dan `-x-(-2)=2-x`. Maka berturut turut adalah `(4-x^2)` dan `(2-x)`.

            `DeltaV approx pi [(4-x^2)^2 - (2-x)^2] Delta x = pi (x^4-9x^2+4x+12) Deltax`

            `-1<=x<=2`

            Sehingga diperoleh,

            `V=int_{-1}^{2}pi(x^4-9x^2+4x+12)dx`

                    `=pi int_[-1}^{2} (x^4-9x^2+4x+12)dx`

                    `=pi[x^5/5-3x^3+2x^2+12x]_{-1}^{2} = 108/5 pi`

            `V= 108/5pi approx 67,86` satuan volume

 

Read More