Integral Fungsi Rasional Kuadrat

 Integral Fungsi Rasional kuadrat

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat. selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijaikan jumlah pecahan `n` parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh:

Tentukanlah `\int\frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx`

Penyelesaian:

Penyebut dapat ditulis `x^3+4x=x(x^2+4)`sudah tidak bisa kita faktorkan lagi sehingga dapat kita tuliskan, `\frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}=\frac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}`

kita mengalikan bentuk diatas dengan `x(x^2+4)` pada kedua ruas akan diperoleh,

`2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)x`

`2x^2-x+4=(A+B)x^2+Cx +4A`=

Dengan menyamakan koefisien, kita peroleh

`A+B=2, C=-1, 4A=4`

Dari persamaan tersebut diselesaikan sehingga diperoleh `A=1, B=1, dan C=-1` sehingga,

`\int\frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx=\int[\frac{1}{x}+\frac{x-1}{x^2+4}]dx`

                                     `=\int\frac{dx}{x}+\int\frac{x}{x^2+4}dx-\int\frac{dx}{x^2+4}`

Perhatikan integral `\int\frac{dx}{x^2+4}` yang dapat dituliskan

 `\int\frac{dx}{x^2+4}=\int\frac{dx}{4((\frac{x}{2})^2+1)}`

Dengan memisalkan `u=\frac{x}{2}` maka `du=\frac{dx}{2}`, sehingga `\int\frac{dx}{x^2+4}` adalah

`\int\frac{dx}{x^2+4}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}=\frac{1}{2} tan^{-1}u`

jadi `\int\frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx= ln|x|+\frac{1}{2}ln|x^2+4|-\frac{1}{2} tan^{-1}(\frac{x}{2})+C`

Contoh lain:

Tentukanlah `\int\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}dx`

Penyelesaian:

Perhatikan penyebut`(x^2+1)^2` tidak dapat difaktorkan dan berulang, sehingga

`\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2`

kita mengalikan bentuk diatas dengan `x(x^2+1)^2` pada kedua ruas akan diperoleh,

`1-x+2x^2-x^3=A(x^2+1)^2+(Bx+C)x(x^2+1)+(Dx+E)x`

`1-x+2x^2-x^3=(A+B)x^4+Cx^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A`

Dengan menyamakan koefisien pada kedua ruas, kita peroleh sistem persamaan berikut:

`A+B=0`

`C=-1`

`2A+B+D=2`

`C+E=-1`

`A=1`

Persamaan-persamaan tersebut diselesaikan dan diperoleh `A=1, B=-1, C=-1, D=1 dan E=0`

Sehingga,

`\int\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^2+1)^2} dx= \int(\frac{1}{x}+\frac{-x-1}{(x^2+1)}+\frac{x}{(x^2+1)^2})dx`      

                                       `=\int(frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{(x^2+1)}+\frac{x}{(x^2+1)^2})dx`                      

                                       `=ln|x|-\frac{1}{2}ln|x^2+1|-tan^{-1}x-\frac{1}{2(x^2+1)}+C`

Read More

Integral Fungsi Rasional Linear

Integral Fungsi Rasional Linear

Fungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom (suku banyak) yang dituliskan `f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, P(x) dan Q(x)` fungsi-fungsi polinom dengan `Q(x)\ne 0` untuk semua `x` di domain `f`. Perhatikan `\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2}`, dengan menyamakan penyebut kita memperoleh:

`\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2}=\frac{3(x-2)-2(x-1)}{(x+1)(x-2)}=\frac{x-8}{x^2-x-2}`

sehingga, `\int\frac{x-8}{x^2-x-2}dx=\int(\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-2})dx=\int\frac{3}{x-1}dx-\int\frac{2}[x-2}dx`

                                                `=3ln|x+1|-2ln|x-2|+C`

Fungsi rasional dibedaan atas:

1. Fungsi rasional sejati, merupakan fugsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari derajat pada penyebut.

Contoh:

`f(x)=\frac{3x-2}{x^2-x-6}`

2. Fungsi rasional ta sejati, merupakan fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat pada penyebut.

Contoh:

`f(x)=\frac{x^4+3x^2+2}{x^2+4x}`

Fungsi tasional tak sejati dapat dituliskan sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan fungsi rasional sejati, caranya adalah dengan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut, Hasil pembaginya sebagai berikut:

`F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)]=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}`

Dengan `S` dan `R` polinom juga, derajar `R` lebih kecil dari derajat `Q`. `S(x)` merupakan hasil pembagian sedangkan `R(x)` merupakan sisa pembagian.

Contoh:

`f(x)=\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}` sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 diatas, `g(x) dapat berupa kombinasi antara:

   *fungsi linear berbeda, `g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)` dstnya.

   *fungsi linear berulang, `g(x)=(x-a)^n`

                                                 `=(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`

  *fungsi linear dan kuadrat, `g(x)=(x-a)(ax2+bx+c)`

  *fungsi kuadrat berbeda, `g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)`

  *fungsi kuadrat berulang, `g(x)=(ax^2+bx+c)^n` dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan `n` pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya. Misal,

*`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1}{(ax1+b1)}+\frac{A2}{(ax2+b2)}+...` [penyebut kombinasi linear berbeda]

*`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1}{(ax+b)}+\frac{A2}{(ax+b)^2}+\frac{A3}{(ax+b)^3}+...`  [kombinasi linear berulang]

*`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1x+B1}{(a1x^2+b1x+c1)}+frac{A2x+B2}{(a2x^2+b2x+c2)}+...`  [kombinasi kuadrat berbeda]

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah `n` pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2,...An dan B1,B2, ...Bn.

Contoh soal linear yang berbeda:

Tentukan `\int\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}dx`

Penyelesaian:

kita jabarkan fungsi rasional atas faktor linear yang berbeda.

`\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}=\frac{5x+3}{x(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x}=\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}`

untuk menentukan nilai `A,B`, dan `C`, kita kalikan kedua ruas persamaan ini dengan hasil kali ketiga penyebut sehingga dieperoleh 

`5x+3=A(x+1)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-1)` selanjutnya kita uraikan dan kelompokan maka:

`5x+3=(A+B+C)x^2 +(-2A-3B+C)x-3A`

Kita menyamakan ruas kiri dan ruas kanan dengan memperhatikan koefisien `x^2` pada ruas kiri `(yaitu 0)` harus sama dengan koefisien `x^2` pada ruas kanan `(A+B+C)`, demikian juga koefisien `x` dan knstanta pada kedua ruas. Dengan memperhatikan persamaan tersebut dapat memberikan sistem persamaan berikut untuk variabel `A,B` dan `C`.

`A+B+C=0`

`-2A-3B+C=5`

`-3A=3`

Jika kita menyelesaikan persamaan- persamaan diatas, maka diperoleh `A=-1, B=-\frac{1}{2}, C=\frac{3}{2}` sehingga,

`\int\frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}dx=\int\frac{-1}{x}dx+\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}dx+ \frac{\frac{3}{2}}{x-3}dx`

                                  `=-ln|x|-\frac{1}{2}ln|x+1|+\frac{3}{2}ln|x-3|+C`

Contoh soal linear yang berulang:

Tentukanlah `\int\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx`

Penyelesaian:

Pertama, kita membagi bentuk rasional tersebut karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut. Sehingga hasil pembagian itu adalah

`\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}`

Kedua, kta faktorkan penyebut `Q(x)=x^3-x^2-x+1` dengan cara mensubstitusikan. Diketahui `Q(1)=0` sehingga salah satu faktor polinom `Q(x)` adalah `x-1` dan kita peroleh:

`x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)`

karena faktor linear `x-1` muncul dua kali, maka dekomposisi fraksi parsial adalah

`\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}=\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}`

kita mengalikan penyebut sekutu terkecil yaitu `(x-1)^2` dan `x-1` maka kita peroleh

`4x=A(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x-1)^2`

`4x=(B+C)x^2+(A-2C)x+A-B+C`

Penyamaan koefisien menghasilkan,

`B+C=0`

`A-2C=4`

`A-B+C=0`

Dengan metode eliminasi diperoleh `A=2,B=1,` dan `C=-1`

Sehingga,

 `\int\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx=\int(x+1+\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})dx`

`=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{2}[x-1}+ln|x-1|-ln|x+1|+C`

`=frac{1}{2}x^2+x-\frac{2}[x-1}+ln\frac{|x-1|}{|x+1|}+C`

Read More

Integral Teknik Parsial

 

Integral Teknik Parsial

Andaikan penggunaan integral dengan metode substitusi tidak berhasil dalam menentukan hasil dari sebuah integral, maka selanjutnya kita akan menggunakan integral parsial. Dimana secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan penyelesaian integral yang integralnya merupakan perkalian dua fungsi uv. Misalkan `u(x)` dan `v(x)` adalah fungsi yang dapat didiferensialkan, maka perhatikan hal berikut:

`y=u.v` maka `dy=du.v+u.dv`

`\intdy=\intv.du+\intu.dv`

`y=\intv.du +\intu.dv`

`u.v=\intv.du+\intu.dv`

`\intu.dv=u.v-\intv.du`

Sehingga rumus integral parsial adalah:

`\intu.dv=u.v-\intv.du`

Integral ini berguna ketika `f` dapat dideferensialkan berkali-kali dan `g` dapat diintegralkan berkali-kali tanpa kesulitan. integral `\intxcosxdx` dan`\intx^2e^xdx` merupakan contoh integral yang demikian karena `f(x)=x` atau `f(x)=x^2` dapat diferensialkan berkali-kali sampai turunannya bernilai nol, sedangkan `g(x)=cosx` atau `g(x)=e^x` dapat diintegralkan berkali-kali tanpa kesulitan. integral parsial juga dapat digunakan pada integral seperti `\intlnxdx` dan `\inte^xcosxdx`.

Pada `f(x)=lnx` mudah untuk dideferensialkan dan `g(x)=1` mudah diintegralkan terhadap `x`dan pada kasus kedua, setiap bagian dari integran terlihat kembali setelah dideferensialkan atai diintegralkan berulang-ulang.

CONTOH:

(1) Tentukan `\intx cos x dx`

Penyelesaian:

Misalkan: 

`u=x` maka `\frac{du}{dx}=1` sehingga `du=dx`

`dv=cosxdx`

   `v=\intcosxdx`

      `=sinx`

`\intu.dv=u.v-\intv.du`

`\intx cos x dx= x. sinx - \intsinx dx`

                      `=x sinx + cosx +C`

(2) Tentukan `\intx ln x dx`

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa`ln x` menjadi lebih mudah jika kita diferensialkan, sehingga kita misalkan:

`u=ln x` maka `\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}` sehingga `du=\frac{1}{x}dx`

`dv=x dx`

 `v=\int x dx`

   `=\frac{1}{2}x^2`

`\intu.dv=u.v-\intv.du`

 `\intx ln x dx= ln x (\frac{1}{2}x^2)-\int\frac{1}{2}x^2(\frac{1}{x}dx)`

                     `=\frac{1}{2} ln(x)x^2- \frac{1}{2}\intxdx`

                     `=\frac{1}{2} ln(x)x^2-\frac{1}{2}\frac{1}{2}x^2 +C`

                     `=\frac{1}{2} ln(x)x^2-\frac{1}{4}x^2 + C`

Read More

Integral- Substitusi Trigonometri

Integral- Substitusi Trigonometri

Terkadang kita bertemu dengan tipe soal integral yang memuat bentuk akar yang sulit untuk diselesaikan sehingga dibutuhkan teknik substitusi trigonometri agar bentuk akarnya hilang. Setelah variabelnya diganti dengan fungsi trigonometri yang sesuai, maka bentuknya menjadi fungsi trigonometri yang dapat diselesaikan dengan rumus reduksi atau rumus yang sebelumnya sudah dipelajari.

TABEL KESAMAAN TRIGONOMETRI

Bentuk penyederhanaannya;

`\sqrt{a^2-x^2}`

Gunakan substitusi `x=asin\theta`

`\sqrt{a^2-(asin\theta)^2}=\sqrt{a^2-a^2sin^2\theta}`

                                   `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}`

                                   `=a cos\theta`

`\sqrt{a^2+x^2}`

Gunakan substitusi `x=atan\theta`

`\sqrt{a^2+(atan\theta)^2}=\sqrt{a^2+a^2tan^2\theta}`

                                   `=\sqrt{a^2(1+tan^2\theta)}`

                                   `=asec\theta`

`\sqrt{x^2-a^2}`

Gunakan substitusi `x=asec\theta`

`\sqrt{(asec\theta)^2-a^2}= \sqrt{(a^2sec^2\theta)-a^2}`

                                  `=\sqrt{(sec\theta-1)a^2}`

                                  `=atan\theta`

Note!

Pembatasan nilai `\theta` pada interval tertentu pada tabel diatas dimaksudkan agar sinus, tangen dan secan menjadi fungsi yang dapat di inverskan.

Contoh:

(1) Tentukanlah `\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx`

Penyelesaian

`\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx=\int\frac{\sqrt{3^3-x^2}}{x^2}dx`

Substitusikan `x= 3 sin\theta` berdasarkan `x= a sin\theta`,

maka`dx=3cos\theta d\theta` sehingga,

`\int\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx= \int\frac{\sqrt{9-(3sin\theta)^2}}{(3sin\theta)^2}dx`

                            `=\int\frac{\sqrt{9-9sin^2\theta}}{9sin^2\theta} dx`

                            `=\int\frac{\sqrt{3^2-3^2sin^2\theta}}{9sin^2\theta} 3cos\thetad\theta`

                            `=\int\frac{\sqrt{3^2(1-sin^2\theta)}}{9sin^2\theta}3cos\thetad\theta`

                            `=\int\frac{3cos\theta}{9sin^2\theta}3cos\thetad\theta`

                            `=\int\frac{cos^2\theta}{sin^2\theta}d\theta`

                            `=\intcot^2\theta d\theta`

                            `=\int(csc^2\theta-1)d\theta`

                            `=-cot\theta -\theta +C`

(2) Tentukanlah `\int\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx`

Penyelesaian:

`\int\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int\frac{x}{\sqrt{x^2+2^2}}dx`

Substitusikan `x=2tan\theta` maka `dx=2sec^2\thetad\theta` sehingga,

`\int\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int\frac{2tan\theta}{\sqrt{(2tan\theta)^2+4}}2sec^2d\theta`

                                    `=\int\frac{2tan\theta}{\sqrt{4tan^2\theta+4}}2sec^2d\theta`

                                    `=\int\frac{2tan\theta}{\sqrt{4 (tan^2\theta+1)}}2sec^2d\theta`

                                    `=\int\frac{2tan\theta}{\sqrt{2^2sec^2\theta}}2sec^2d\theta`

                                    `=\int\frac{2tan\theta2sec^2\theta}{2sec\theta}d\theta`

                                   `=\int\frac{2tan\theta2(sec\theta.sec\theta)}{2sec\theta}d\theta`

                                   `=\int2tan\thetasec\thetad\theta`

                                   `=2\int\frac{sin\theta}{cos\theta}\frac{1}{cos\theta}d\theta`

                                   `=2\int\frac{sin\theta}{cos^2\theta}d\theta`

                                  `=-2\int\frac{d cos\theta}{cos^2\theta}`

                                  `=2cos\theta+C`

(3) Tentukanlah`\int\frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx`

Penyelesaian:

Terlebih dahulu kita nyatakan `3-2x-x^2` menjadi bentuk kuadrat

`3+1-1-2x-x^2=4-(1+2x+x^2)=4-(1+x)^2`

lalu misalkan `u=x+1` atau `x=u-1` sehingga,

`\int\frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx=\int\frac{u-1]{\sqrt{4-u^2}}dx=\int\frac{u-1]{\sqrt{2^2-u^2}}dx`

Substitusi `u=2sin\theta berdasarkan tabel kesamaan trigonometri diatas.

Maka `du=2cos\theta` dan `\sqrt{4-u^2}=2cos\theta` sehingga,

`\int\frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx=\int\frac{2sin\theta-1}{2cos\theta}2cos\thetad\theta`

                                       `=\int(2sin\theta-1)d\theta`

                                       `=-2cos\theta-\theta+C`

                                       `=-\sqrt{4-u^2}-sin^{-1}(\frac{u}{2})+C`

                                       `=-\sqrt{3-2x-x^2}-sin^{-1}(\frac{x+1}{2})+C`

Read More

Integral Fungsi Trigonometri

Integral Fungsi Trigonometri

Integral fungsi trigonometri melibtakan kombinasi aljabar dari enam funsi trigonometri dasar, sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebbih rinci ada baiknya kita mengetahui terlebih dahulu integral dasar fungsi trigometri yang akan menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri.

Bentuk dasar tersebut adalah:

1. `\intsinxdx=-cosx+C`

2. `\intcosxdx=sinx+C`

3. `\intsec^2xdx=tanx+C`

Berdasarkan bentuk diatas selanjutnya akan diberikan kasusu bentuk integral fungsi trigonometri sebai berikut:

Integral jenis 1

`(\intsin^nxdx)` dan `(\intcos^nxdx)`

Strategi untuk menentukan integral jenis ini adalah kita akan meninjau pangkat `n` untuk `n` bilangan bulat ganjil dan positif, maka `n` diubah menjadi `(n-1)+1`atau n digenapkan terdekat. Selanjutnya kita gunakan kesamaan `sin^2x+cos^2x=1`.

Contoh: 

Tentukan `\intcos^5xdx`

Penyelesaian:

`\intcos^5xdx=\intcos^{(5-1)+1}xdx`

                    `=\intcos^4xcosxdx`

                   `=\int(1-sin^2x)^2 cosxdx`

                    `=\int(1-2sin^2x+sin^4x)cosxdx`

Kita misalkan `u=sinx`, maka `\frac{du}{dx}=cosx` atau `dx=\frac{du}{cosx}`

`=\int(1-2sin^2x+sin^4x)cosxdx=\int(1-2u^2+u^4)cosx(\frac{du}{cosx})`

`=\int(1-2u^2+u^4)du=u-\frac{2}{3}u^3+\frac{1}{5}u^5+C`

Ganti `u` dengan `u=sinx` maka,

`=sinx-\frac{2}{3}sin^3x+\frac{1}{5}sin^5x+C`

Integral jenis 2

`(\intsin^mxcos^nxdx)`

Strategi untuk menentukannya dengan `m\geq0` dan `n\geq0` diuraikan sebagai berikut.

a) Jika pangkat dari sinus adalah bilangan ganjil (m=2p+1), kita simpan satu faktor sinus dan gunakan `sin^2x=1-cos^2x` untuk menyatakan faktor tersisa dalam kosinus.

`\intsin^{2p+1}xcos^nxdx=\int(sin^2x)^pcos^nxsinxdx`

                                    `=\int(1-cos^2x)^pcos^nxsinxdx`

Kemudian kita substitusi `u=cosx`

b) Jika pangkat dari kosinus adalah bilangan ganjil `(n=2p+1)`, kita simpan satu faktor kosinus dan gunakan `sin^2x=1-cos^2x` untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam sinus.

`\intsin^mxcos^{2p+1}xdx=\intsin^mx(cos^2x)^pcosxdx`

                                         `=intsin^mx(1-sin^2x)^pcosxdx`

Kemudian kita substitusikan `u=sinx`

Jika pangkat dari sinus dan kosinus adlah ganjil salah satu dari (a) dan (b) dapat digunakan.

c) Jika pangkat dari sinus maupun kosinus adalh bilangan genap, kita dapat menggunakan rumus atau kesamaan setengah sudut.

`sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}` atau `cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}`

Terkadang kesamaan `sin x cos x=\frac{1}{2}sin2x` dapat membantu untuk menyelesaikan kasus seperti ini.

Contoh:

Tentukan `\intsin^2xcos^4xdx`

Penyelesaian:

`\intsin^2xcos^4xdx=\int(\frac{1-cos2x}{2})(\frac{1+cos2x}{2})^2dx`

                                `=\frac{1}{8}\int(1+cos2x-cos^{2}2x-cos^{3}2x)dx`

                                `=\frac{1}{8}\int[1+cos2x-\frac{1}{2}(1+cos4x)-1(1-sin^{2}2x)cos2x]dx`

                               `=\frac{1}{8}\int[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4x+sin^{2}2xcos2x]dx`

                              `=\frac{1}{8}[\intfrac{1}{2}dx-\frac{1}{8}\intcos4xd(4x)+\frac{1}{2}\intsin^{2}2xd(sin2x)]`

                              `=\frac{1}{8}[\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin4x+\frac{1}{6}sin^{3}2x]+ C`

                             `=\frac{1}{16}x-\frac{1}{{64}sin4x+\frac{1}{48}sin^{3}2x+ C`

Integral jenis 3

`\int tan^n xdx` dan `\intcot^nxdx`

Dalam penentuan integral ini, kasus tangen kita keluarkan faktor `tan^2x=sec^2x-1` sedangkan untuk kasus kotangen kita keluarkan faktor `cot^2x=csc^2x-1`

Contoh:

Tentukan `\inttan ^3xdx`

Penyelesaian:

Kita uraikan `tan^3x=tan^2xtanx, sehingga

 `\inttan ^3xdx=\inttan^2xtanxdx= \int(sec^2x-1)tanxdx`

                   `=\int(sec^2xtanx-tanx)dx`

                   `=\inttanxsec^2xdx-\inttanxdx`

                  `=\frac{tan^2x}{2}-ln|secx|+C`

Integral jenis 4

`(\inttan^mxsec^nxdx dan \intcot^mxcsc^nxdx)`

Strategi untuk menentukan integral jenis ini sebagai berikut:

a) Jika pangkat dari tangen adalah bilangan ganjil `(m=2p+1)` , simpan satu faktor `secxtanx` dan gunakan `tan^2x=sec^2x-1`untuk menyatakan faktor yang tersisa dala `secx`:

`\inttan^{2p+1}xsec^nxdx=\int(tan^2x)^psec^{n-1}xsecxtanxdex`

                                          `=\int(sec^2x-1)^psec^{n-1}xsecxtanxdx`

kemudian substitusikan `u=secx`

b) Jika pangkatdari `secan` adalah bilangan genap (n=2p), simpan satu faktor `sec^2x` dan gunakan`sec^2x=1+tan^2x` untuk menyatakan faktor yang tersisa dalam tan x:

`\inttan^mxsec^{2p}xdx=\inttan^mx(sec^2x)^{p-1}sec^2xdx`

                                       `=\inttan^mx(1+tan^2x)^{p-1}sec^2xdx`

Kemudian substitusikan `u=tanx`

Contoh:

Tentukanlah `\inttan^6xsec^4xdx`

Penyelesaian:

Jika kita pisahkan satu faktor `sec^2x`, kita dapat menyatakan faktor `sec^2x` yang tersisa dalam tangen dengan menggunakan kesamaan `sec^2x=1+tan^2x` kemudian kita dapat menentukan integral dengan mensubstitusikan `u=tanx` dengan `du=sec^2xdx` atau `dx=\frac{du}{sec^2x}`

Dengan demikian,

 `\inttan^6xsec^4xdx=\inttan^6xsec^2xsec^2xdx`

                                 `=\inttan^6x(1+tan^2x)sec^2xdx`

                                `=\intu^6(1=u^2)sec^2x\frac{du}{sec^2x}`

                                `=\intu^6(1+u^2)du`

                                `=\frac{1}{7}u^7+\frac{1}{9}u^9+ C`

Dengan mengganti `u=tanx` maka diperoleh hasil akhir adalah

`\frac{1}{7}tan^7x+\frac{1}{9}tan^9x+C`

Integral jenis 5

`(\intsinmxcosnxdx, \intsinmxsinnxdx, \intcosmxcosnxdx)`

Strategi untuk menentukan integral jenis ini adalah dengan memperhatikan kesamaan-kesamaan berikut.

a) `sinmxcosnx=\frac{1}{2}[sin(m+n)x+sin(m-n)x]`

b) `sinmx sinnx=-\frac{1}{2}[cos(m+n)x-sin(m-n)x]`

c) `cosmxcos nx =\frac{1}{2}[cos(m+n)x+cos(m-n)x]`

Contoh:

Tentukanlah `\intsin3xcos4xdx`

Penyelesaian:

Dengan menggunakan (a) maka kita dapat menuliskan

`\intsin3xcos4xdx=\frac{1}{2}[sin(3+4)x+sin(3-4)x]`

                             `=\frac{1}{2}[sin7x+sin(-x)]`

                             `=\frac{1}{2}[-\frac{1}{7}cos7x+cosx]+C`

                             `=\frac{1}{2}cosx-\frac{1}{14}cos7x+ C`

Read More

Integral Tak Tentu Metode Substitusi

 

Integral Tak Tentu Metode Substitusi

Setelah mengetahui cara mencari anti turunan dari f(x), yaitu: F(x)=f(x) yang bersifat F'(x)=f(x). namun, masih banyak kita jumpai fungsi- fungsi yang tidak mudah untuk ditentukan integralnya. Oleh karena itu, para ahli kalkulus mengembangkan teknik-teknik pengintegrasian untuk mengatasi masalah ini. salah satu caranya adalah dengan menggunakan rumus integral substitusi. Teknik integrasi yang disebut dengan metode atau aturan substitusi, dengan konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang sederhana. Secara umum, metode ini berfungsi bilamana kita mempunyai integral yang dapat dituliskan dalam bentuk `\intf(g(x))g'(x)dx`

Perhatikan bahwa jika `F'=f`, maka

`\intf(g(x))g'(x)dx=\F(g(x))+C`

karena menurut aturan rantai, apabila `F` adalah anti turunan dari `f` (`F'=f`)

`\frac{d}{dx}F(g(x))= F'(g(x)g'(x)`

`=f(g(x))g'(x)` (`F'=f`)

Jika kita membuat "penggantian variabel" atau "pen-substitusian" `u=g(x)`, maka

`\intf(g(x))g'(x)= \int\frac{d}{dx} F(g(x))dx`

`=F(g(x))+C`

`=F(u) +C`

`=\intF'(u)du`

`=\intf(u)du` (`F'=f)

dari persamaan ini kita memperoleh:

`\intf(g(x))g'(x)dx=\intf(u)du`

Jadi kita telah membuktikan aturan berikut.

Jika `u=g(x)` adalah fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang `I` dan `f` kontinu pada `I`, maka

`\intf(g(x))g'(x)dx= \intf(u)du`

Note:

Ide dari aturan substitusi ini adalah kita memilih salah satu bentuk fungsi yang jika dideferensialkan maka bisa saling mensubstitusi dengan fungsi yang lainnya.

CONTOH:

(1) `\int\sqrt{2x+1}dx`

Penyelesaian:

Andaikan `u=2x +1`, maka `du= 2 dx` sehingga `dx =\frac{du}{2}`.

`\int\sqrt{2x+1} dx`

=`\int\sqrtu\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\intu^{\frac{1}{2}}du` (menggunakan teorema`\int kf (x) dx= k\int f(x) dx`)

=`\frac{1}{2}.\frac{u^\frac3 2}{\frac 3 2} + C = \frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}} +C`

=`\frac{1}{3}(2x +1)^{\frac{3}{2}} +C` (mensubstitusi `u`)

(2) `\int3x^2\sqrt{x^3-10}dx`

Penyelesaian:

Hilangkan tanda akar lebih dahulu, maka:

`\int3x^2\sqrt{x^3-10}dx =``\int3x^{2}.(x^{3}-10)^{\frac{1}{2}}dx`

Andaikan `u=x^3-10` maka `\frac{du}{dx}=3x^2` sehingga `dx=\frac{1}{3 x^2}du`

`\int3x^2\sqrt{x^3-10}dx`=`\int3x^2\cdot u^\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3x^2}`

                                   =`\intu^{\frac{1}{2}du`

                                  =`\frac{1}{\frac{1}{2}+1} u^{\frac{1}{2}+1}+C`

                                 =`\frac{1}{\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2}} + C`

                                =`\frac{2}{3}u^{frac{3}{2}} + C`

                                 =`\frac{2}{3}(x^3-10)^{frac{3}{2}} + C`

Read More